Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A è definito come il polinomio p _A (x) = det ( I x- A ) dove I è la matrice di identità e det il determinante . Nota che questa definizione ci fornisce sempre un polinomio monico tale che la soluzione è unica.

Il tuo compito per questa sfida è calcolare i coefficienti del polinomio caratteristico per una matrice con valore intero, per questo puoi usare i built-in ma è scoraggiato.

Regole

• l'input è una matrice intera NxN (N ≥ 1) in qualsiasi formato conveniente
• il programma / funzione genererà / restituirà i coefficienti in ordine crescente o decrescente (specificare quale)
• i coefficienti sono normati in modo tale che il coefficiente di x ^N sia 1 (vedi casi di test)
• non è necessario gestire input non validi

Casi test

I coefficienti sono indicati in ordine decrescente (es. X ^N , x ^N-1 , ..., x ² , x, 1):

[0] -> [1 0]
[1] -> [1 -1]
[1 1; 0 1] -> [1 -2 1]
[80 80; 57 71] -> [1 -151 1120] 
[1 2 0; 2 -3 5; 0 1 1] -> [1 1 -14 12]
[4 2 1 3; 4 -3 9 0; -1 1 0 3; 20 -4 5 20] -> [1 -21 -83 559 -1987]
[0 5 0 12 -3 -6; 6 3 7 16 4 2; 4 0 5 1 13 -2; 12 10 12 -2 1 -6; 16 13 12 -4 7 10; 6 17 0 3 3 -1] -> [1 -12 -484 3249 -7065 -836601 -44200]
[1 0 0 1 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 1; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 1 1; 1 1 1 0 1 1 1; 0 1 0 0 0 0 1] -> [1 -6 10 -6 3 -2 0 0]

SageMath , 3 byte

5 byte salvati grazie a @Mego

fcp

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Accetta un Matrixinput.

fcpsta per f actorization del c haracteristic p olynomial,

che è più corto del normale incorporato charpoly.

Ottava , 16 4 byte

@BruteForce mi ha appena detto che una delle funzioni che stavo usando nella mia soluzione precedente può effettivamente fare l'intero lavoro:

poly

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16 byte: questa soluzione calcola gli autovalori della matrice di input, quindi procede alla costruzione di un polinomio dalle radici date.

@(x)poly(eig(x))

Ma ovviamente c'è anche il noioso

charpoly

(necessita di una symbolicmatrice di tipi in Octave, ma funziona con le solite matrici in MATLAB.)

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Pari / GP , 8 byte

charpoly

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Pari / GP , 14 byte

m->matdet(x-m)

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R , 53 byte

function(m){for(i in eigen(m)$va)T=c(0,T)-c(T,0)*i
T}

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Restituisce i coefficienti in ordine crescente; Per esempio, a_0, a_1, a_2, ..., a_n.

Calcola il polinomio trovando gli autovalori della matrice.

R + pracma , 16 byte

pracma::charpoly

pracma è la libreria "PRACtical MAth" per R e ha alcune funzioni utili.

Mathematica, 22 byte

Det[MatrixExp[0#]x-#]&

-7 byte da alephalpha
-3 byte da Misha Lavrov

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e naturalmente...

Mathematica, 29 byte

#~CharacteristicPolynomial~x&

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entrambe le risposte generano un polinomio

Haskell , 243 223 222 byte

s=sum
(&)=zip
z=zipWith
a#b=[[s$z(*)x y|y<-foldr(z(:))([]<$b)b]|x<-a]
f a|let c=z pure[1..]a;g(u,d)k|m<-[z(+)a b|(a,b)<-a#u&[[s[d|x==y]|y<-c]|x<-c]]=(m,-s[s[b|(n,b)<-c&a,n==m]|(a,m)<-a#m&c]`div`k)=snd<$>scanl g(0<$c<$c,1)c

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Grazie a @ ØrjanJohansen per avermi aiutato a giocare a golf!

Spiegazione

Questo utilizza l' algoritmo Faddeev – LeVerrier per calcolare i coefficienti. Ecco una versione non golfata con nomi più prolissi:

-- Transpose a matrix/list
transpose b = foldr (zipWith(:)) (replicate (length b) []) b

-- Matrix-matrix multiplication
(#) :: [[Int]] -> [[Int]] -> [[Int]]
a # b = [[sum $ zipWith (*) x y | y <- transpose b]|x<-a]


-- Faddeev-LeVerrier algorithm
faddeevLeVerrier :: [[Int]] -> [Int]
faddeevLeVerrier a = snd <$> scanl go (zero,1) [1..n]
  where n = length a
        zero = replicate n (replicate n 0)
        trace m = sum [sum [b|(n,b)<-zip [1..n] a,n==m]|(m,a)<-zip [1..n] m]
        diag d = [[sum[d|x==y]|y<-[1..n]]|x<-[1..n]]
        add as bs = [[x+y | (x,y) <- zip a b] | (b,a) <- zip as bs]
        go (u,d) k = (m, -trace (a#m) `div` k)
          where m = add (diag d) (a#u)

_{Nota: l' ho preso direttamente da questa soluzione}

Python 2 + numpy , 23 byte

from numpy import*
poly

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MATL , 4 byte

1$Yn

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Questo è semplicemente un porto di risposta Octave Flawr , quindi restituisce i coefficienti in ordine decrescente, ovvero[a_n, ..., a_1, a_0]

1$Yn          # 1 input Yn is "poly"

CJam (48 byte)

{[1\:A_,{1$_,,.=1b\~/A@zf{\f.*1fb}1$Aff*..+}/;]}

Suite di test online

Dissezione

Questo è abbastanza simile alla mia risposta a Determinante di una matrice intera . Ha alcune modifiche perché i segni sono diversi e perché vogliamo mantenere tutti i coefficienti anziché solo l'ultimo.

{[              e# Start a block which will return an array
  1\            e#   Push the leading coefficient under the input
  :A            e#   Store the input matrix in A
  _,            e#   Take the length of a copy
  {             e#     for i = 0 to n-1
                e#       Stack: ... AM_{i+1} i
    1$_,,.=1b   e#       Calculate tr(AM_{i+1})
    \~/         e#       Divide by -(i+1)
    A@          e#       Push a copy of A, bring AM_{i+1} to the top
    zf{\f.*1fb} e#       Matrix multiplication
    1$          e#       Get a copy of the coefficient
    Aff*        e#       Multiply by A
    ..+         e#       Matrix addition
  }/
  ;             e#   Pop AM_{n+1} (which incidentally is 0)
]}