Per quelli con un piccolo background di algebra lineare, la sfida è semplice: determinare gli autovalori e gli autovettori di una data matrice 2x2 complessa. Puoi passare a The Challenge per i dettagli di I / O, ecc. Per coloro che hanno bisogno di un piccolo aggiornamento sugli eigensystem, continua a leggere.

sfondo

L' equazione caratteristica di una matrice A è definita da

det| A - λI | = 0

dove λ è un parametro complesso (scalare), I è la matrice identità e det | ... | è il determinante . Il lato sinistro restituisce un polinomio in λ , il polinomio caratteristico , che è quadratico nel caso di matrici 2x2. Le soluzioni di questa equazione caratteristica sono gli autovalori di A , che indicheremo come λ ₁ e λ ₂ .

Ora gli autovettori v _i di A soddisfano

A vi = λi vi

Per ogni λ _i , questo ti dà un sistema di due equazioni in due incognite (i componenti di v _i ), che possono essere risolti abbastanza facilmente. Noterai che il sistema è in realtà non specificato e la grandezza degli autovettori non è determinata dalle equazioni. Vi solito è autovettori per essere normalizzati, cioè √ (| x | ² + | y | ² ) = 1 , dove x ed y sono le componenti del vettore, | x | ² è x moltiplicato per il suo coniugato complesso.

Si noti che gli autovalori possono essere degenerati, ovvero λ ₁ = λ ₂ . In questo caso, potresti essere o meno in grado di soddisfare il singolo sistema di equazioni con due autovettori linearmente indipendenti.

La sfida

Data una matrice 2x2 con elementi complessi, determinare i suoi due autovalori (possibilmente identici) e un autovettore normalizzato per ciascun autovalore. I numeri risultanti devono essere precisi con almeno 3 cifre (decimali) significative. Puoi presumere che le parti reali e immaginarie di qualsiasi elemento matrice siano nell'intervallo [-1,1] .

È possibile scrivere una funzione o un programma, prendendo input tramite STDIN, argomento della riga di comando, prompt o argomento della funzione. È possibile generare il risultato su STDOUT, una finestra di dialogo o come valore di ritorno della funzione.

È possibile utilizzare qualsiasi formato di stringa o elenco conveniente (ma non ambiguo) per l'input e l'output. Puoi anche scegliere tra coppie di float o tipi complessi per rappresentare i singoli numeri.

Non è necessario utilizzare le funzioni integrate per risolvere gli eigensystem (come Mathematica Eigenvectorso Eigensystem) o i risolutori di equazioni.

Questo è il golf del codice, quindi vince la risposta più breve (in byte).

Esempi

Ogni esempio è composto da tre righe: input, autovalori e autovettori corrispondenti nello stesso ordine. Si noti che gli autovettori sono determinati solo fino alla loro fase e che nel caso di autovalori degeneri, gli autovettori possono effettivamente essere arbitrari (come nel primo esempio).

[[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]
[1.0, 1.0]
[[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]

[[0.0, 0.4], [-0.1, -0.4]]
[-0.2, -0.2]
[[0.894427, -0.447214], [0.894427, -0.447214]]

[[0.3, 0.1], [0.4, -0.9]]
[-0.932456, 0.332456]
[[-0.0808731, 0.996724], [0.951158, 0.308703]]

[[0.5, -1.0], [0.8, -0.5]]
[0.74162i, - 0.74162i]
[[0.745356, 0.372678 - 0.552771i], [0.745356, 0.372678 + 0.552771i]]

[[-0.0539222 + 0.654836i, -0.016102 + 0.221334i], [0.739514 - 0.17735i, -0.0849216 + 0.77977i]]
[0.238781 + 0.984333i, -0.377625 + 0.450273i]
[[0.313668 + 0.322289i, 0.893164], [-0.236405 - 0.442194i, 0.865204]]

[[-0.703107 - 0.331792i, 0.286719 - 0.587305i], [-0.418476 + 0.396347i, -0.885934 + 0.50534i]]
[-1.13654 - 0.32678i, -0.4525 + 0.500329i]
[[0.833367, -0.248208 - 0.493855i], [-0.441133 - 0.408236i, 0.799215]]

[[-0.156312 + 0.788441i, 0.045056 - 0.579167i], [0.130741 - 0.97017i, 0.049183 - 0.590768i]]
[-0.181759 + 1.11738i, 0.0746298 - 0.919707i]
[[0.86955, -0.493846 + 0.000213145i], [0.318856 - 0.0181135i, 0.94763]]

MATLAB, 91

Una tecnica standard per ottenere un vettore normalizzato e rimuovere l'inutile grado di libertà sta rappresentando gli elementi del vettore come il coseno e il seno di un certo angolo.

Inizialmente ho provato a programmare in Python, ma la sua gestione della matematica si è rivelata troppo danneggiata dal cervello. Le sue funzioni matematiche si sono rifiutate di accettare valori complessi e non capisce che la divisione in virgola mobile per zero è OK.

function[]=f(a,b,c,d)
L=(a+d+[1,-1]*((a-d)^2+4*b*c)^.5)/2
t=atan((L-a)/b);v=[cos(t);sin(t)]

Innanzitutto i due autovalori sono stampati sotto l'intestazione L =. Quindi vengono stampati due vettori di colonna con i corrispondenti valori di L, sotto v =. Il codice potrebbe non fornire vettori linearmente indipendenti nei casi in cui è possibile farlo (un tale programma sarebbe normalmente considerato non funzionante), ma Martin ha affermato che non è necessario.

Python 2, 198 byte

a,b,c,d=input()
H=(a+d)/2
D=(H*H-a*d+b*c)**.5
X,Y=H+D,H-D
p,q,r,s=[[1,0,0,1],[b,X-a,b,Y-a],[X-d,c,Y-d,c]][2*(c!=0)or(b!=0)]
A=abs
V=A(A(p)+A(q)*1j)
W=A(A(r)+A(s)*1j)
print[X,Y],[[p/V,q/V],[r/W,s/W]]

L'input è un elenco semplice di 4 numeri complessi tramite STDIN, ad es

[0.0+0j, 0.4+0j, -0.1+0j, -0.4+0j]

Nota che Python utilizza jinvece di inumeri complessi.

L'output è di due elenchi, il primo contenente gli autovalori e il secondo contenente gli autovettori, ad es

[(-0.2+0j), (-0.2+0j)]
[[(0.8944271909999159+0j), (-0.4472135954999579+0j)], [(0.8944271909999159+0j), (-0.4472135954999579+0j)]]

(newline inserita per chiarezza)

Lua, 462 455 431 427 byte

Non esiste una matematica complessa integrata in Lua. Nessuna operazione vettoriale. Tutti dovevano essere fatti rotolare a mano.

a,b,c,d,e,f,g,h=...x=math.sqrt z=print i=a-g j=b-h
k=(i^2-j^2)/2+2*(c*e-d*f)m=x(k^2+(i*j+2*(c*f+d*e))^2)n=x(m+k)o=x(m-k)i=(a+g+n)/2
j=(b+h+o)/2 k=(a+g-n)/2 l=(b+h-o)/2 z(i,j,k,l)q=c^2+d^2 r=e^2+f^2 s=q+r if s==0
then z(1,0,0,0,0,0,1,0)else if r==0 then m,n,o,p=c,d,c,d c,d=i-a,j-b e,f=k-a,l-b
u=x(q+c^2+d^2)v=x(q+e^2+f^2)else m,n=i-g,j-h o,p=k-g,l-h c,d=e,f
u=x(r+m^2+n^2)v=x(r+o^2+p^2)end z(m/u,n/u,o/v,p/v,c/u,d/u,e/v,f/v)end

Esegui dalla riga di comando con i seguenti argomenti:

lua eigen.lua Re(a) Im(a) Re(b) Im(b) Re(c) Im(c) Re(d) Im(d)

Produce il seguente output:

Re(lambda1) Im(lambda1) Re(lambda2) Im(lambda2)
Re(v11) Im(v11) Re(v12) Im(v12) Re(v21) Im(v21) Re(v22) Im(v22)

... per a, b, c, d i 4 componenti della matrice di input, lambda1 e lambda2 i due autovalori, v11, v21 autovettore della prima unità e v12, v22 autovettore della seconda unità. Per esempio,

lua eigen.lua 1 0  1 0  1 0  0 0

... produce ...

1.6180339887499 0   -0.61803398874989   0
0.85065080835204    0   -0.52573111211913   0   0.52573111211913    0   0.85065080835204    0