Dato un numero intero positivo n, progettare un goniometro con il minor numero di segni che consente di misurare tutti gli angoli che sono un multiplo integrale di 2π/n(ciascuno in una singola misura).

Dettagli

Come output, è possibile generare un elenco di numeri interi nell'intervallo 0a n-1(o 1a n) che rappresentano la posizione di ciascun segno. In alternativa è possibile generare una stringa / elenco di lunghezza ncon #a nella posizione di ciascun segno e un _(trattino basso) dove non ce n'è. (O due caratteri diversi, se più conveniente.)
Esempio: per n = 5avere bisogno di esattamente 3 segni per poter misurare tutti gli angoli 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5, 2πimpostando (per esempio) un segno su 0, un segno su 2π/5e un segno su 6π/5. Possiamo codificarlo come un elenco [0,1,3]o come una stringa ##_#_.

Esempi

Si noti che le uscite non sono necessariamente uniche.

n:  output:
 1  [0]
 2  [0,1]
 3  [0,1]
 4  [0,1,2]
 5  [0,1,2]
 6  [0,1,3]
 7  [0,1,3]
 8  [0,1,2,4]
 9  [0,1,3,4]
10  [0,1,3,6]
11  [0,1,3,8]
20  [0,1,2,3,6,10]

PS: Questo è simile al problema dei righelli sparsi , ma invece di una scala lineare (con due estremità) consideriamo una scala circolare (angolare).

PPS: questo script dovrebbe calcolare un esempio di un insieme di segni per ciascuno n. Provalo online!

PPPS: Come sottolineato da @ngn, questo problema equivale a trovare una base di differenza minima di un gruppo di ordini ciclico n. Gli ordini minimi sono elencati in http://oeis.org/A283297 e alcuni limiti teorici si trovano in https://arxiv.org/pdf/1702.02631.pdf

Gelatina , 13 byte

ŒPðṗ2I%QLðÐṀḢ

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Come funziona

ŒPðṗ2I%QLðÐṀḢ  Main link. Argument: n (integer)

ŒP             Powerset; generate all subsequences of [1, ..., n].
  ð       ÐṀ   Begin a dyadic chain. Call it with all subsequences S as left
               argument and n as right one. Return the array of all sequences for
               which the chain returns the maximal result, i.e., [0, ..., n-1].
   ṗ2              Cartesian power 2; generate all pairs of elements of S.
     I             Increments; map each pair [x, y] to [y-x].
      %            Map each [y-x] to [(y-x)%n].
       Q           Unique; deduplicate the array of modular difference singletons.
        L          Take the length.
         ð     Begin a new, dyadic chain.
               Left argument: S' (filted subsequences). Right argument: n
            Ḣ  Take the first element of S'.
               Since S was sorted by length, so is S', so the first element of S'
               is the shortest subsequence that satisfies the condition.

MATL , 20 byte

:qGZ^!"G:q@&-G\m?@u.

Questo esaurisce la memoria su TIO per gli input oltre 8.

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Come funziona

Questo genera il potere cartesiano di [0 1 ... n-1]esponente ne usa un ciclo per testare ogni tupla cartesiana. La prova consiste nel calcolare tutte le differenze a coppie di elementi, se la tupla, e vedere se tali differenze modulo ncomprendono tutti i numeri 0, 1, ..., n-1.

Non appena viene trovata una tupla cartesiana che soddisfa la condizione, il ciclo viene chiuso e le voci uniche in quella tupla vengono stampate come soluzione.

Ciò funziona perché, dato che u > v , un set sufficiente di tuple con u voci uniche è garantito per essere testato prima di qualsiasi tupla con v voci uniche. Un "set sufficiente" significa che se nessuna delle tuple in quel set è una soluzione, nessun'altra tupla con lo stesso numero di voci univoche è una soluzione.

Ad esempio, per n = 3le tuple cartesiane sono come mostrato di seguito, dove ogni riga è una tupla:

0 0 0
0 0 1
0 0 2
0 1 0
0 1 1
0 1 2
0 2 0
 ···
2 2 1
2 2 2

• La prima tupla, 0 0 0è l'unica tupla rilevante con 1un valore univoco. Anche se 1 1 1e 2 2 2apparirà molto più tardi, 0 0 0è una soluzione se e solo se quelli lo sono. Quindi l'insieme singleton formato dalla tupla 0 0 0è un insieme sufficiente per u = 1.
• La seconda e la terza tupla, ovvero 0 0 1e 0 0 2, formano un insieme sufficiente per u = 2; cioè coprono tutti i casi con 2valori univoci. La quarta tupla, 0 1 0non sarà mai selezionata come soluzione, perché 0 0 1sarà stata testata per prima. Allo stesso modo, la tupla 0 2 0non verrà mai selezionata perché appare dopo 0 0 2. Tuple come 2 2 1non verranno mai selezionate come soluzione perché 0 0 1è equivalente (modulo ne fino a valori duplicati) e appare per primo.
• Eccetera.

Codice commentato:

:q         % Push [0 1 ... n-1], where n is the input (implicit)
GZ^        % Cartesian power with exponent n. Gives an (n^n) × n matrix
           % where each row is a Cartesian tuple
!          % Transpose. Now each Cartesian tuple is a column
!"         % For each column (that is, each Cartesian tuple)
  G:q      %   Push [0 1 ... n-1] (*)
  @        %   Push current column
  &-       %   Matrix of pairwise differences (**)
  G\       %   Modulo n, element-wise
  m        %   Ismember function: for each entry in (*), gives true iff
           %   it is present in (**)
  ?        %   If all entries are true
    @      %     Push current column
    u      %     Unique entries. This is the solution
    .      %     Break loop
           %   End (implicit)
           % End (implicit)
           % Display (implicit)

Stax , 26 21 byte

Åæ4&╕u◙╩►s∙Φ▬═(0~ d+Q

Esegui ed esegui il debug online!

In questo momento la versione online non riesce per l'input, 20ma questo errore è stato corretto e deve ancora essere distribuito all'interprete online Distribuito. Attenzione, ci vuole del tempo per eseguire il 20caso.

Spiegazione

Si scopre che a causa del modo in cui viene calcolata la differenza a coppie, non devo preoccuparmi dell'equivalenza di ke x-kqui. Salvataggio di 5 byte.

Usa la versione decompressa per spiegare.

rS{%o~{;i@c:2{E-x%mu%x<wm
r                            [0..`x`], where `x` is input
 S                           Powerset
  {%o~                       Sort by length
      {;i@             w     For each element in the powerset
          c:2                All pairs
             {    m          Map each pair `[p,q] to
              E-                 `q-p`
                x%               `(q-p)%x`
                   u%        Count of unique modulo differences
                     x<      Loop until the count of unique modulo differences is larger than the input(`n`)
                             Now we have found a valid set in the powerset
                        m    Output the members of the set,one element per line.

Applicando il requisito che 0ed 1entrambi siano membri della risposta, possiamo generare il powerset con [2..x]invece di [0..x]e quindi aggiungere 0e 1manualmente a ogni elemento nel powerset. È più efficiente ma deve gestire l'input in modo 1speciale e costa più byte.

Gelatina , 17 byte

_þ¹F%³³Ḷ¤ḟ
ŒPÇÐḟḢ

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-1 byte grazie a Mr. Xcoder

Python 2 , 148 byte

from itertools import*
def f(n):
 r=range(n)
 for i in r:
  for p in combinations(r,i+1):
   if all(any((y+x)%n in p for y in p)for x in r):return p

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