introduzione

Oggi ci occuperemo della rovina degli studenti di algebra lineare del primo anno: la precisione della matrice! Apparentemente questo non ha ancora una sfida, quindi eccoci qui:

Ingresso

• A $n\times n$ simmetrica Matrice $A$ in qualsiasi formato conveniente (puoi anche prendere solo la parte superiore o inferiore della matrice)
• Opzionalmente: la dimensione della matrice $n$

Cosa fare?

La sfida è semplice: data una matrice con valore reale $n\times n$ matrice decide se è definita positiva emettendo un valore di verità in caso affermativo e un valore di falsità in caso contrario.

Potresti presumere che i tuoi built-in funzionino effettivamente in modo preciso e quindi non debbano tenere conto di problemi numerici che potrebbero portare a comportamenti errati se la strategia / il codice "dimostrabilmente" dovesse produrre il risultato corretto.

Chi vince?

Questo è code-golf , quindi vince il codice più breve in byte (per lingua)!

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Che cos'è comunque una matrice definita positiva?

Apparentemente ci sono 6 formulazioni equivalenti di quando una matrice simmetrica è definita positiva. Riprodurrò i tre più facili e ti farò riferimento a Wikipedia per quelli più complessi.

• Se $\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$ allora $A$ è definito positivo.
  Questo può essere riformulato come:
  Se per ogni vettore diverso da zero $v$ il prodotto punto (standard) di $v$ e $Av$ è positivo, allora $A$ è definito positivo.
• Lascia che $\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$ sono gliautovaloridi$A$ , se ora$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$ (ovvero tutti gli autovalori sono positivi), allora$A$ è definito positivo.
  Se non sai quali sono gli autovalori, ti suggerisco di utilizzare il tuo motore di ricerca preferito per scoprirlo, perché la spiegazione (e le strategie di calcolo necessarie) è troppo lunga per essere contenuta in questo post.
• Se esiste la decomposizione di Cholesky di $A$ , cioè esiste una matrice $L$ triangolare inferiore tale che $LL^T=A$ allora $A$ è definita positiva. Si noti che questo equivale a "false" di ritorno anticipato se in qualsiasi momento il calcolo della radice durante l'algoritmo fallisce a causa di un argomento negativo.

Esempi

Per risultati veritieri

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Per output falso

(almeno un autovalore è 0 / semi-definito positivo)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(gli autovalori hanno segni diversi / indefiniti)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(tutti gli autovalori inferiori a 0 / negativo definito)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(tutti gli autovalori inferiori a 0 / negativo definito)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(tutti gli autovalori inferiori a 0 / negativi definiti)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(tre autovalori positivi, uno negativo / indefinito)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 byte

-1 byte grazie a Logern
-3 byte grazie a ceilingcat

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

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Esegue l'eliminazione gaussiana e verifica se tutti gli elementi diagonali sono positivi (criterio di Sylvester). L'argomento nè la dimensione della matrice meno una.

MATLAB / Octave , 19 17 12 byte

@(A)eig(A)>0

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La funzione eig fornisce gli autovalori in ordine crescente, quindi se il primo autovalore è maggiore di zero, lo sono anche gli altri.

Gelatina , 11 10 byte

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Usa il criterio di Sylvester .

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Come funziona

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 byte

function(m)all(eigen(m)$va>0)

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Alternativa usando cholesky:

R , 34 33 byte

function(m)is.array(try(chol(m)))

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-1 byte grazie a @Giuseppe

Haskell , 56 byte

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

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Fondamentalmente un porto di risposta nwellnhof . Esegue l'eliminazione gaussiana e controlla se gli elementi sulla diagonale principale sono positivi.

Non riesce il primo output falso a causa di errori di arrotondamento, ma teoricamente funzionerebbe con precisione infinita. Grazie al suggerimento di Curtis Bechtel , ora le uscite sono tutte corrette.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 byte

0<Min@Eigenvalues@#&

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MATL , 4 byte

Yv0>

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[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica, 29 28 byte

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Definizione 2.

Julia 1.0 , 28 byte

using LinearAlgebra
isposdef

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Julia 0.6 , 8 byte

isposdef

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MATL , 6 byte

È possibile farlo utilizzando anche meno byte, @Mr. Xcoder è riuscito a trovare una risposta MATL a 5 byte !

YvX<0>

Spiegazione

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

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acero , 33 byte

(cioè i miei 2 centesimi)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 byte

Stesso metodo della risposta di nwellnhof . ritorna$0$ o $1$.

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

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