Definizione

Un numero intero positivo nè un numero pratico (sequenza OEIS A005153 ) se tutti i numeri interi positivi più piccoli possono essere rappresentati come somme di divisori distinti di n.

Ad esempio, 18è un numero pratico: i suoi divisori sono 1, 2, 3, 6, 9 e 18 e gli altri numeri interi positivi inferiori a 18 possono essere formati come segue:

 4 = 1 + 3          5 = 2 + 3           7 = 1 + 6
 8 = 2 + 6          10 = 1 + 9         11 = 2 + 9
12 = 3 + 9 = 1 + 2 + 9 = 1 + 2 + 3 + 6
13 = 1 + 3 + 9      14 = 2 + 3 + 9      15 = 6 + 9
16 = 1 + 6 + 9      17 = 2 + 6 + 9

Ma 14non è un numero pratico: i suoi divisori sono 1, 2, 7 e 14 e non esiste alcun sottoinsieme di questi che si aggiunge a 4, 5, 6, 11, 12 o 13.

Sfida

Scrivere un programma, una funzione o verbo che prende in ingresso un numero intero positivo xe sia i ritorni o stampe il x ^th numero pratico, indicizzato da 1 per coerenza con OEIS. Il codice deve essere sufficientemente efficiente da poter gestire input fino a 250000 in meno di due minuti su un computer desktop ragionevole. (NB la mia implementazione di riferimento in Java gestisce 250000 in meno di 0,5 secondi e la mia implementazione di riferimento in Python lo gestisce in 12 secondi).

Casi test

Input        Expected output
1            1
8            18
1000         6500
250000       2764000
1000000      12214770
3000000      39258256

J (99 caratteri)

f=:3 :0
'n c'=.0 1
while.c<y do.
'p e'=.__ q:n=.n+2
c=.c+*/(}.p)<:}:1+*/\(<:p^e+1)%<:p
end.
n+n=0
)

Poiché la dichiarazione del problema richiede un "programma, una funzione o un verbo ", qualcuno ha dovuto presentare una domanda J. La gente noterà che non ho davvero golf (!) O non l'ho ottimizzato. Come le altre voci, ho usato il teorema di Stewart, menzionato nel link OEIS, per verificare se ogni numero pari è pratico o meno.

Non ho accesso immediato a un "computer desktop ragionevole" con J installato. Sul mio netbook di sei anni f 250000calcola in 120,6 secondi, che non è del tutto inferiore a due minuti, ma presumibilmente su qualsiasi computer leggermente più ragionevole questo termina in tempo.

Mathematica, 126 121 caratteri

Grazie a Belisario.

Usando la formula su Wikipedia.

f=(i=j=1;While[j<#,If[And@@Thread[#[[;;,1]]<2+Most@DivisorSum[FoldList[#Power@@#2&,1,#],#&]&@FactorInteger@++i],j++]];i)&

Esempi:

f[1]

1

f[8]

18

f[250000]

2764000

Ci sono voluti 70 anni per calcolare f[250000]sul mio computer.

Haskell - 329

s 1=[]
s n=p:(s$div n p)where d=dropWhile((/=0).mod n)[2..ceiling$sqrt$fromIntegral n];p=if null d then n else head d
u=foldr(\v l@((n,c):q)->if v==n then(n,c+1):q else(v,1):l)[(0,1)]
i z=(z<2)||(head w==2)&&(and$zipWith(\(n,_)p->n-1<=p)(tail n)$scanl1(*)$map(\(n,c)->(n*n^c-1)`div`(n-1))n)where w=s z;n=u w
f=((filter i[0..])!!)

Esempi:

> f 1
1
> f 13
32
> f 1000
6500

Ecco una piccola suite di test (anteporre a quanto sopra):

import Data.Time.Clock
import System.IO

test x = do
    start <- getCurrentTime
    putStr $ (show x) ++ " -> " ++ (show $ f x)
    finish <- getCurrentTime
    putStrLn $ " [" ++ (show $ diffUTCTime finish start) ++ "]"

main = do
    hSetBuffering stdout NoBuffering
    mapM_ test [1, 8, 1000, 250000, 1000000, 3000000]

Risultati del test dopo essere stati compilati con ghc -O3:

1 -> 1 [0.000071s]
8 -> 18 [0.000047s]
1000 -> 6500 [0.010045s]
250000 -> 2764000 [29.084049s]
1000000 -> 12214770 [201.374324s]
3000000 -> 39258256 [986.885397s]

Javascript, 306 307 282B

function y(r){for(n=r-1,k=1;n;k++)if(p=[],e=[],c=0,P=s=1,!((x=k)%2|1==x)){while(x>1){for(f=x,j=2;j<=Math.sqrt(f);j++)if(f%j==0){f=j;break}f!=p[c-1]?(p.push(f),e.push(2),c++):e[c-1]++,x/=f}for(i=0;c>i;i++){if(p[i]>P+1){s=0;break}P*=(Math.pow(p[i],e[i])-1)/(p[i]-1)}s&&n--}return k-1}

250k circa 6s sul mio laptop.

Codice non golfato commentato: http://jsfiddle.net/82xb9/3/ ora con migliori test sigma e una migliore condizione if (grazie commenti)

Versioni pre-modifica: http://jsfiddle.net/82xb9/ http://jsfiddle.net/82xb9/1/