Ragioni delle ipotesi per la funzione di distribuzione del microfacet?

Il documento Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces (tra gli altri) ci ricorda i seguenti presupposti sulla funzione di distribuzione del microfacet D:

1. La densità del microfacet è valutata positivamente
2. L'area totale della microsuperficie è grande almeno quanto l'area corrispondente della macrosuperficie
3. L'area proiettata (firmata) della microsuperficie è la stessa dell'area proiettata della macrosuperficie per qualsiasi direzione v

Posso capire perché 1) una densità di distribuzione è un valore positivo e intuitivamente credo che 2) significhi che l'area totale dei microfacet inclinati non può essere più piccola della loro proiezione.
Tuttavia, non sono sicuro di capire la giustificazione per 3). Cosa significa la terza condizione?

È un presupposto geometrico come gli altri due. Considera una macro superficie piatta. La sua area proiettata in qualsiasi direzione è solo volte la sua area (dove è la superficie normale). In particolare, il caso in cui lo guardi lungo il normale è più semplice: l'area proiettata è uguale all'area della superficie.$v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

Ora dividi la macrosuperficie in microfacet. L'area totale dei microfacet è almeno altrettanto (presupposto 2), ma ogni "piega" della superficie piega le normali dei microfacet dalla normale originale. Qualunque sia la forma dei microfacet, la somma delle loro aree proiettate non cambia. Nel caso in cui guardi lungo il normale, è facile vedere che l'area totale proiettata è la stessa: la superficie dovrebbe ingrandirsi o ridursi per poter cambiare.

Per ogni direzione, il microfacet deve coprire una porzione dell'area proiettata originale della superficie. Cambiare l'orientamento del microfacet mentre si riempie ancora quella porzione non cambia l'area proiettata.

C'è un caso complicato, in cui i microfacet si sovrappongono. In questo caso, l'area totale è maggiore, poiché alcune aree sono coperte da più di un microfacet. Ma in questo caso, almeno uno dei microfacet deve finire per puntare lontano dalla direzione della vista, di nuovo in superficie. In questo caso, il prodotto punto è negativo, quindi questo annulla l'area coperta da più di un microfacet. Questo è il motivo per cui il testo è attento a individuare che è l' area proiettata firmata .

C'è un altro caso complicato, in cui i microfacet si estendono oltre la sagoma dell'oggetto. Ciò può accadere quando guardi da angolazioni molto occhiate o dove le sfaccettature sporgenti sporgono al di fuori del perimetro della superficie. In questo caso, l'area proiettata dei microfacet sarà maggiore, violando la terza ipotesi. Generalmente non consideriamo questo caso. Intuitivamente, si abbina al fatto che tecniche come il bump-mapping non cambiano la forma della sagoma dell'oggetto.