Dimostrando che un problema in X non è X-Complete


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The Existential Theory of the Reals è in PSPACE , ma non so se sia PSPACE-Complete . Se credo che non sia così, come potrei provarlo?

Più in generale, dato un problema in qualche classe di complessità X , come posso dimostrare che è non è X-Complete ? Ad esempio, X potrebbe essere NP , PSPACE , EXPTIME .


Certo non è facile e nessuno può fornire una risposta per la tua parte generale :-) Ho troppi problemi, so che sono NP ma non so che sono NP-Complete o no (né troppe altre persone).

Risposte:


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In realtà dimostrare che non è completo di (sotto, diciamo, riduzioni del tempo polinomiale) sarebbe estremamente difficile da fare.P S P A C EXPSPACE

Se , allora tutti i problemi non banali (cioè, non e non ) e infiniti in sono completi di con riduzioni del tempo polinomiale. Dal momento che la teoria esistenziale dei reali ha questa proprietà non banale e infinita, dimostrando che non è implicherebbe . (Vedi la risposta a questa domanda su CSTheory.SE per uno schizzo della prova.)Σ P S P A C E P S P A C EP=PSPACEΣPSPACEPSPACE P P S P A C EPSPACEPPSPACE


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Certamente sembra che abbia morso più di quanto possa masticare, per così dire.
Dave Clarke,

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Un problema in non è completo se ci sono altri problemi in che non possono essere ridotti ad esso. Un metodo semplice (ma forse efficace solo su esempi banali) sarebbe dimostrando il vostro problema è anche in qualche altra classe di complessità tale che .X X Y Y XXXXYYX

Ad esempio, se si desidera dimostrare che il problema non è completo , è sufficiente mostrare che è in , poiché . Tuttavia, se si desidera dimostrare che un problema non è completo di , non è necessariamente sufficiente dimostrare che si trova in , poiché non è noto se .EXPTIMEPPEXPTIMENPPP=NP



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Come ha scritto Ryan, dimostrare che un problema non è difficile non è facile.

Sia un problema in una classe di complessità X e S è chiuso con riduzioni . Dimostrare che Q non è X -hard wrt equivale a separare la classe di complessità ottenuta prendendo la chiusura di Q wrt . Ora, se Q è difficile per un'altra classe Y wrt , allora significa separazione Y da X . Come sapete, non ci sono molti risultati di separazione.QXSQXQQYYX

Nel tuo caso, , = P m , e Y = P .X=PSpace≤=mPY=P

Poiché al momento non possiamo dimostrare tali risultati (con la possibile eccezione di Ryan :), al posto di dimostrare che non è X -hard, mostriamo che si trova in una classe di complessità che si ritiene sia inferiore a X . Ad esempio, se mostri che T h ( R , + , × , 0 , 1 ) è in P H , verrà preso come una prova evidente che Q non è XQXXTh(R,+,×,0,1)PHQX-difficile. (Nel linguaggio dei logici, se non riesci a dimostrare un risultato incondizionato, prova a provarne uno condizionato assumendo un'affermazione difficile da provare ma ampiamente creduta come ).PPSpace

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