Dimostrando che un problema in X non è X-Complete

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The Existential Theory of the Reals è in PSPACE , ma non so se sia PSPACE-Complete . Se credo che non sia così, come potrei provarlo?

Più in generale, dato un problema in qualche classe di complessità X , come posso dimostrare che è non è X-Complete ? Ad esempio, X potrebbe essere NP , PSPACE , EXPTIME .

complexity-theory proof-techniques

— Dave Clarke
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Certo non è facile e nessuno può fornire una risposta per la tua parte generale :-) Ho troppi problemi, so che sono NP ma non so che sono NP-Complete o no (né troppe altre persone).

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In realtà dimostrare che non è completo di (sotto, diciamo, riduzioni del tempo polinomiale) sarebbe estremamente difficile da fare. $X$ $PSPACE$

Se , allora tutti i problemi non banali (cioè, non e non ) e infiniti in sono completi di con riduzioni del tempo polinomiale. Dal momento che la teoria esistenziale dei reali ha questa proprietà non banale e infinita, dimostrando che non è implicherebbe . (Vedi la risposta a questa domanda su CSTheory.SE per uno schizzo della prova.) $P=PSPACE$ $\varnothing$ $\Sigma^{\star}$ $PSPACE$ $PSPACE$ $PSPACE$ $P \neq PSPACE$

— Ryan Williams
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Certamente sembra che abbia morso più di quanto possa masticare, per così dire.

— Dave Clarke,

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Un problema in non è completo se ci sono altri problemi in che non possono essere ridotti ad esso. Un metodo semplice (ma forse efficace solo su esempi banali) sarebbe dimostrando il vostro problema è anche in qualche altra classe di complessità tale che . $X$ $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$

Ad esempio, se si desidera dimostrare che il problema non è completo , è sufficiente mostrare che è in , poiché . Tuttavia, se si desidera dimostrare che un problema non è completo di , non è necessariamente sufficiente dimostrare che si trova in , poiché non è noto se . $EXPTIME$ $P$ $P \subsetneq EXPTIME$ $NP$ $P$ $P = NP$

— Joe
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Guarda la risposta accettata per questa domanda su MathOverflow, Quali tecniche esistono per dimostrare che un problema non è NP-completo? . Risponde al caso quando X = NP.

— Mohammad Al-Turkistany
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Come ha scritto Ryan, dimostrare che un problema non è difficile non è facile.

Sia un problema in una classe di complessità e è chiuso con riduzioni . Dimostrare che non è -hard wrt equivale a separare la classe di complessità ottenuta prendendo la chiusura di wrt . Ora, se è difficile per un'altra classe wrt , allora significa separazione da . Come sapete, non ci sono molti risultati di separazione. $Q$ $X$ $S$ $\leq$ $Q$ $X$ $\leq$ $Q$ $\leq$ $Q$ $Y$ $\leq$ $Y$ $X$

Nel tuo caso, , , e . $X = \mathsf{PSpace}$ $\leq = \leq^\mathsf{P}_m$ $Y=\mathsf{P}$

Poiché al momento non possiamo dimostrare tali risultati (con la possibile eccezione di Ryan :), al posto di dimostrare che non è -hard, mostriamo che si trova in una classe di complessità che si ritiene sia inferiore a . Ad esempio, se mostri che è in , verrà preso come una prova evidente che non è $Q$ $X$ $X$ $\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$ $\mathsf{PH}$ $Q$ $X$ -difficile. (Nel linguaggio dei logici, se non riesci a dimostrare un risultato incondizionato, prova a provarne uno condizionato assumendo un'affermazione difficile da provare ma ampiamente creduta come ). $\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$

— Kaveh
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