Due spanning tree di un semplice grafico hanno sempre dei bordi comuni?

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Ho provato alcuni casi e ho scoperto che due spanning tree di un semplice grafico hanno dei bordi comuni. Voglio dire, finora non ho trovato nessun contro esempio. Ma non ho potuto provare o smentire neanche questo. Come provare o confutare questa congettura?

graphs graph-theory spanning-trees

— Sigma.
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No, considera il grafico completo : $K_4$

Ha i seguenti alberi che attraversano i bordi disgiunti: inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Bjørn Kjos-Hanssen
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Puoi rendere planare ciascuno degli alberi prendendo uno a forma di e l'altro a forma diPuoi rendere tutto planare disegnando il bordo dal vertice in alto a destra al vertice in basso a sinistra come una curva che va fuori dal quadrato.

N

$N$

Z

$Z$

— Accumulo

@kelalaka Non abbiamo bisogno di un grafico completo, no (immagina di fare lo stesso tipo di cose su - a meno che non abbia perso la mia ipotesi, hai alcuni bordi inutilizzati che possono essere rimossi, rendendolo non più completo (perché ogni vertice necessita di 2-4 bordi attraversati collegati ad esso, e ogni vertice in ha 5 bordi disponibili, quindi ogni vertice è attaccato ad almeno un bordo non utilizzato)). è probabilmente solo il miglior esempio: è ben noto, facile da visualizzare (relativamente pochi spigoli) e ha alberi di spanning molto semplici.

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

— Funds Monica's Lawsuit

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Per i lettori più interessati, ci sono alcune ricerche sulla decomposizione del grafico in alberi spanning spigolosi .

Ad esempio, i documenti classici sul problema della decomposizione di un grafico in fattori collegati $n$ di WT Tutte e spanning-disjoint spanning tree di grafici finiti di C. St.JA Nash-Williams fornisce una caratterizzazione di grafici che contiene pairwise edge-disjoint spanning alberi. $k$

Ad esempio, il documento Decomposizioni cicliche di grafici completi in spanning tree di Dalibor Froncek mostra come scomporre grafici completi in isomorfi che coprono alberi. $K_{4k+2}$ ${2k+1}$

Ad esempio, il documento Factorizations of Complete Graphs in Spanning Trees with All Any Possible Degree di Petr Kovář e Michael Kubesa mostra come fattorizzare in una spanning degli alberi con un dato grado massimo. $K_{2n}$

Puoi cercare di più. Ad esempio, una ricerca di Google per la scomposizione del grafico in spanning tree .

— Apass.Jack
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EDIT: questo non è corretto, come sottolineato nei commenti. Come dice l'altra risposta, un albero di spanning per può essere fatto senza condividere i bordi. $K_4$

No, non è vero che due spanning tree di un grafico abbiano bordi comuni.

Considera il grafico delle ruote:

Puoi creare un albero spanning con i bordi "dentro" il loop e un altro dal loop esterno.

— Gokul
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ma il ciclo esterno non raggiunge il nodo centrale

— amI

Hai ragione, eliminerò questa risposta come basta l'altra.

— Gokul,

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Puoi modificarlo prendendo il ciclo di uscita meno un po 'di "accordo" più un po' di "raggio" e il suo complemento.

— Boboquack,

Sì. In realtà avevo visto solo così. @boboquack

— Sigma.

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$K_n$ $n\geq4$

$2$

$K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

$2$

$2$ $2$
Esiste un grafico diverso da ruota o ruota poiché il suo sottografo presenta alberi con bordi sconnessi?

— Sigma.
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A queste domande e oltre è stata data risposta nei documenti che ho citato. Se sei interessato, puoi dare un'occhiata.

— Apass.Jack

Grazie @ Apass.Jack ho visto la tua risposta. Lo guarderò.

— Sigma.

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$K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 i}, v_{2 i + 1}), (v_{2 i}, v_{2 i + 2}), \dots, (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 i + 1}, v_{2 i + 2}), (v_{2 i}, v_{2 i}), \dots (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

$0\leq i < k$

$n$ $n+1$

— Acccumulation
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Se il grafico ha un ponte (ovvero un bordo la cui rimozione scollega il grafico), questo bordo deve appartenere a ogni albero di spanning. Intuitivamente, un ponte è l'unico bordo che collega i suoi due punti finali e quindi appartiene necessariamente a ogni sottografo collegato.

D'altra parte, se un bordo del grafico appartiene a un ciclo, allora esiste un albero di spanning che non contiene questo bordo.

Quindi, se ogni bordo di un grafico appartiene a un ciclo, allora nessun bordo è comune a tutti gli alberi di spanning (cioè, l'intersezione dei set di bordi degli spanning tree è l'insieme vuoto).

— mo2019
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