Lingue accettabili e grammatiche illimitate?

Le macchine di Turing e le grammatiche senza restrizioni sono due diversi formalismi che definiscono i linguaggi di RE. Alcuni linguaggi RE sono decidibili, ma non tutti lo sono.

Possiamo definire le lingue decidibili con le macchine di Turing affermando che una lingua è decidibile se esiste una TM per la lingua che si ferma e accetta tutte le stringhe nella lingua e si ferma e rifiuta tutte le stringhe non nella lingua. La mia domanda è questa: esiste una definizione analoga di lingue decidibili basate su grammatiche senza restrizioni anziché su macchine di Turing?

computability turing-machines formal-grammars

— templatetypedef
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Risposte:

Una lingua è decidibile, se è semi-decidibile e il suo complemento è semi-decidibile. Inoltre, una lingua è enumerabile in modo ricorsivo se è semi-decidibile e quindi è possibile trovare una grammatica senza restrizioni. therfore:

Un linguaggio è sse decidibile v'è sia una illimitata grammatica con e una illimitata Grammar con . $L$ $G$ $L(G) = L$ $\bar G$ $L(\bar G) = \bar L$

— Simon S
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Inoltre, non sono sinonimi "semi-decidibili" e "ricorsivamente enumerabili"?

— templatetypedef,

1. IIRC non esiste una classe nota di grammatiche formali corrispondenti a lingue decidibili, quindi non penso che ciò sia possibile con un'unica grammatica senza restrizioni. 2. Sì, capita di voler dire lo stesso.

— Simon S,

Ti sbagli sulla definizione di decidibilità. Decidibile significa "esiste una macchina di Turing che calcola la risposta". La relazione che citi come definizione è in realtà un teorema, che ho sentito attribuito a Emile Post.

— Andrej Bauer,

Successivamente, la semidecidabilità e l'enumerabilità ricorsiva non sono sinonimi, ma sono nozioni equivalenti. Un set è semidecidabile se è il set di arresto di una macchina Turing, mentre è enumerabile ricorsivamente se è elencato da una macchina Turing.

— Andrej Bauer,

1. Hai ragione, la decidibilità non è necessariamente definita in questo modo (ma può essere), e quindi ho modificato la risposta. 2. Ecco perché ho scritto "capita di voler dire lo stesso", forse "sinonimo" è la parola sbagliata.

— Simon S,

Non può esserci un'utile classe di grammatiche per (l'insieme delle lingue ricorsive), poiché $\mathrm{R}$

ogni utile classe di grammatiche è enumerabile e
$\mathrm{R}$ non è semi-decidibile o, equivalentemente, non enumerabile.

Il primo ovviamente non è un teorema rigoroso (e non può essere), è solo una congettura di giudizio. L'insieme di tutte le grammatiche è enumerabile e qualsiasi restrizione non decidibile è probabilmente non molto utile¹ in sé; in particolare non sarà una restrizione sintattica (come quella di Chomsky).

Il secondo è formalmente vero, vedi anche qui .

Naturalmente, le persone hanno definito tali restrizioni e quelle classi hanno i loro usi, ma è persino difficile capire se una determinata grammatica rientri in sottoclassi più semplici.

— Raffaello
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Perché questo argomento non si applica anche alle macchine Turing? Esiste una classe utile di TM per R (i decisori) anche se non sono enumerabili.

— templatetypedef,

@templatetypedef: il pensiero mi è passato per la mente. 1) L'insieme delle macchine di Turing per R è in qualche modo "intangibile". Probabilmente, non è "utile" in alcun modo tranne che nel senso più teorico. 2) La TM è un modello operativo, mentre le grammatiche sono più un modello dichiarativo (se generativo). Pertanto, è improbabile che esista anche una proprietà "inutile" come quella delle R-TM. (Ancora una volta, questo è tutto un borbottio basato sull'intuizione.)

— Raffaello

Questa domanda viene affrontata in un articolo di Henning Fernau del 1994. Henning afferma:

Ad esempio, consideriamo la famiglia di lingue ricorsive. È una domanda aperta se esiste una caratterizzazione grammaticale "naturale" di questa classe di lingue. Come mostreremo di seguito, ogni famiglia di grammatica che caratterizza le lingue ricorsive deve avere alcune strane proprietà.

Dirigiamo il lettore che è curioso di conoscere quelle strane proprietà sul giornale.

— Yuval Filmus
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