Dato un linguaggio regolare , considera alcuni DFA che accettano L , lascia che A sia la sua matrice di trasferimento ( A i j è il numero di fronti che portano dallo stato i allo stato j ), che x sia il vettore caratteristico dello stato iniziale e che y essere il vettore caratteristico degli stati accettanti. Quindi
s L ( n ) = x T A n y .LLUNUNio jiojXy
SL( n ) = xTUNny.
Il teorema di Jordan afferma che sopra i numeri complessi, è simile a una matrice con blocchi di una delle forme
( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , …
Se λ ≠ 0 , allora il nUN
( λ) , ( λ01λ) , ⎛⎝⎜λ001λ001λ⎞⎠⎟, ⎛⎝⎜⎜⎜λ0001λ0001λ0001λ⎞⎠⎟⎟⎟, ...
λ ≠ 0nle potenze di questi blocchi sono
Ecco come siamo arrivati a queste formule: scrivere il blocco come
B=λ+N. I poteri successivi di
Nsono successive diagonali secondarie della matrice. Usando il teorema binomiale (usando il fatto che
λcommuta con
N),
Bn=(λ+n)N=λ( λn) , ( λn0n λn - 1λn) , ⎛⎝⎜λn00n λn - 1λn0( n2) λn - 2n λn - 1λn⎞⎠⎟,⎛⎝⎜⎜⎜⎜λn000n λn - 1λn00( n2) λn - 2n λn - 1λn0( n3) λn - 3( n2) λn - 2n λn - 1λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟, ...
B = λ + NNλN
Quando
λ=0, il blocco è nilpotente e otteniamo le seguenti matrici (la notazione
[n=k]è
1se
n=ke
0altrimenti):
( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ n = 0Bn= ( λ + n )N= λn+ n λn - 1N+ ( n2) λn - 2N2+ ⋯ .
λ = 0[ n = k ]1n = k0( [ n = 0 ]) , ( [ n = 0 ]0[ n = 1 ][ n = 0 ]) , ⎛⎝⎜[ n = 0 ]00[ n = 1 ][ n = 0 ]0[ n = 2 ][ n = 1 ][ n = 0 ]⎞⎠⎟,⎛⎝⎜⎜⎜⎜[ n = 0 ]000[ n = 1 ][ n = 0 ]00[ n = 2 ][ n = 1 ][ n = 0 ]0[ n = 3 ][ n = 2 ][ n = 1 ][ n = 0 ]⎞⎠⎟⎟⎟⎟
UNn( nK) λn - k[ n = k ]
SL( n ) = ∑iopio( n ) λnio+ ∑jcj[ n = j ] ,
λio, cjpion ,
SL( n ) = ∑iopio( n ) λnio.
Questa è la dichiarazione precisa del risultato.
Possiamo andare avanti e ottenere informazioni asintotiche su SL( n ), ma questo è sorprendentemente non banale. Se c'è un unicoλio di massima grandezza, diciamo λ1, poi
SL( n ) = p1( n ) λn1( 1 + o ( 1 ) ) .
Le cose si complicano quando ce ne sono diverse
λs di massima grandezza. Succede così che il loro angolo deve essere razionale (cioè fino alla grandezza, sono radici dell'unità). Se il LCM dei denominatori è
d, quindi gli asintotici di
SL sarà molto secondo il resto di
n modulo
d. Per alcuni di questi resti, tutti
λs di annullamento di grandezza maggiore, quindi gli asintotici "calano" e dobbiamo ripetere questa procedura. Il lettore interessato può verificare i dettagli in Flajolet e Sedgewick's
Analytic Combinatorics , Theorem V.3. Lo dimostrano per alcuni
d, numeri interi
p0, ... , pd- 1 e reali
λ0, ... , λd- 1,
SL( n ) = npn( modd)λnn( modd)( 1 + o ( 1 ) ) .