Numero di parole di una determinata lunghezza in una lingua normale

Esiste una caratterizzazione algebrica del numero di parole di una determinata lunghezza in una lingua normale?

Wikipedia afferma un risultato in qualche modo impreciso:

Per ogni linguaggio regolare esistono costanti e polinomi tali che per ogni il numero di le parole di lunghezza in soddisfano l'equazione .λ 1$L$p 1 ( x ) $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$n s L ( n ) n L s L ( n ) = p 1 ( n ) λ n 1 + ⋯ + p k ( n ) λ n $p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$$n$$s_L(n)$$n$$L$$s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$

Non è indicato in quale spazio vive ( , presumo) e se la funzione deve avere valori interi non negativi su tutti . Vorrei una dichiarazione precisa e uno schizzo o un riferimento per la prova.C $\lambda$$\mathbb{C}$$\mathbb{N}$

Domanda bonus: è vero il contrario, cioè dato una funzione di questo modulo, c'è sempre una lingua normale il cui numero di parole per lunghezza è uguale a questa funzione?

_{Questa domanda generalizza Numero di parole nella lingua normale$(00)^*$}

Dato un linguaggio regolare , considera alcuni DFA che accettano L , lascia che A sia la sua matrice di trasferimento ( A i j è il numero di fronti che portano dallo stato i allo stato j ), che x sia il vettore caratteristico dello stato iniziale e che y essere il vettore caratteristico degli stati accettanti. Quindi s L ( n ) = x T A n y $L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

Il teorema di Jordan afferma che sopra i numeri complessi, è simile a una matrice con blocchi di una delle forme ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , … Se λ ≠ 0 , allora il $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$le potenze di questi blocchi sono Ecco come siamo arrivati a queste formule: scrivere il blocco comeB=λ+N. I poteri successivi diNsono successive diagonali secondarie della matrice. Usando il teorema binomiale (usando il fatto cheλcommuta conN), Bn=(λ+n)N= $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ $B = \lambda + N$$N$$\lambda$$N$ Quandoλ=0, il blocco è nilpotente e otteniamo le seguenti matrici (la notazione[n=k]è1sen=ke0altrimenti): ( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ n = $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

$A^n$$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ $\lambda_i,c_j$$p_i$$n$ , $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$ Questa è la dichiarazione precisa del risultato.

Possiamo andare avanti e ottenere informazioni asintotiche su $s_L(n)$, ma questo è sorprendentemente non banale. Se c'è un unico$\lambda_i$ di massima grandezza, diciamo $\lambda_1$, poi

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ Le cose si complicano quando ce ne sono diverse $\lambda$s di massima grandezza. Succede così che il loro angolo deve essere razionale (cioè fino alla grandezza, sono radici dell'unità). Se il LCM dei denominatori è$d$, quindi gli asintotici di $s_L$ sarà molto secondo il resto di $n$ modulo $d$. Per alcuni di questi resti, tutti$\lambda$s di annullamento di grandezza maggiore, quindi gli asintotici "calano" e dobbiamo ripetere questa procedura. Il lettore interessato può verificare i dettagli in Flajolet e Sedgewick's Analytic Combinatorics , Theorem V.3. Lo dimostrano per alcuni$d$, numeri interi $p_0,\ldots,p_{d-1}$ e reali $\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$, $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

Permettere $L \subseteq \Sigma^*$ una lingua normale e

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

la sua funzione generatrice , dove$L_n = L \cap \Sigma^n$ e così $|L_n|=s_L(n)$.

È risaputo che $L(z)$è razionale , cioè

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

con $P,Q$polinomi; questo è più facile da vedere traducendo una grammatica lineare per$L$ in un sistema di equazioni (lineare!) la cui soluzione è $L(z)$.

Le radici di $Q$ sono essenzialmente responsabili del $|L_n|$, che porta al modulo indicato su Wikipedia. Ciò è immediatamente correlato al metodo dei polinomi caratteristici per risolvere le ricorrenze (tramite la ricorrenza che descrive$(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$).