Quanto è difficile una variante del puzzle di Sudoku?

Il sudoku è un puzzle ben noto che è noto per essere NP-completo ed è un caso speciale di problema più generale noto come quadrati latini. Una soluzione corretta del quadrato consiste nel riempire ogni riga e ogni colonna con numeri da a$N \times N$$1$$N$ a condizione che ogni numero appaia esattamente una volta in qualsiasi riga o colonna.

Definisco un nuovo problema. L'input è una soluzione corretta di$N \times N$Puzzle di Sudoku (più generalmente un problema con il quadrato latino). Vorrei decidere se esiste la permutazione delle righe e la permutazione delle colonne in modo tale che nessuna riga e nessuna colonna contenga triple consecutive.

Un esempio per una riga senza triplo consecutivo è 9 5 6 2 3 8 4 7 1. Un esempio per una riga con triplo consecutivo è 8 9 5 2 3 4 7 6 1. Il triplo è 2 3 4.

Sospetto che il problema sia NP-difficile ma non sono riuscito a trovare una riduzione.

Quanto è difficile risolvere questa variante del puzzle di Sudoku? NP-complete?

EDIT : per chiarire, la stessa permutazione deve essere applicata alle colonne e alle righe.

Quando le permutazioni di riga e colonna sono diverse e le triple triple devono aumentare: la risposta è sempre SÌ.

Supponiamo che la matrice abbia dimensioni $N\times N$. Considera una permutazione casuale delle colonne. Ogni riga (da sola) è una permutazione casuale. La probabilità che i numeri$i,i+1,i+2$ apparire in posizioni $t,t+1,t+2$ è $1/(N(N-1)(N-2))$. Ci sono$N-2$ scelte per $t$ e $i$, e $N$file diverse. Pertanto il numero previsto di triple consecutive è$N(N-2)^2/(N(N-1)(N-2)) < 1$. Concludiamo che esiste una certa permutazione delle colonne, sotto la quale non ci sono triple consecutive in nessuna delle file. Ora ripeti lo stesso argomento per le colonne - nota che permutare le righe non può creare una tripla consecutiva in nessuna di esse.

Quando le permutazioni di riga e colonna sono uguali e le triple triple possono essere in aumento o in diminuzione: la risposta è ancora SÌ, per dimensioni sufficientemente grandi $N$.

L'idea è di usare la versione sbilenco del lemma locale di Lovász , attraverso il documento di Lu e Székely Utilizzo del lemma locale di Lovász nello spazio delle iniezioni casuali . Nella prova precedente, abbiamo considerato gli eventi$X_{\ell,i,t,\sigma}$ per $\sigma \in \{\pm 1\}$, che per una linea $\ell$ (una riga o una colonna), dichiaralo $\ell(i+\sigma\delta)=t+\delta$ per $\delta \in \{0,1,2\}$. Questi sono esempi degli eventi canonici considerati da Lu e Székely: se la permutazione casuale (che consente sia le file che le colonne) è$\pi$, quindi sono della forma $\pi(t)=j_0,\pi(t+1)=j_1,\pi(t+2)=j_2$, dove $j_\delta = \ell^{-1}(i+\sigma\delta)$. Due eventi$X_{\ell,i,t,\sigma},X_{\ell',i',t',\sigma'}$ conflitto se$\{t,t+1,t+2\} \cap \{t',t'+1,t'+2\} \neq \emptyset$ o $\{j_0,j_1,j_2\} \cap \{j'_0,j'_1,j'_2\} \neq \emptyset$(questa è in realtà solo una condizione necessaria). Ogni evento è in conflitto con al massimo$2N\cdot 2\cdot 2\cdot 5 - 1= 40N-1$ altri eventi ($2N$linee, due orientamenti, due modi di conflitto, cinque posizioni contrastanti). Mentre gli eventi non in conflitto dipendono in generale, usando la versione sbilenco del lemma locale di Lovász possiamo ignorarlo e lasciare che il nostro grafico delle dipendenze includa i bordi solo per gli eventi in conflitto. Poiché la probabilità che si verifichi ogni evento è$p = 1/(N(N-1)(N-2))$ e la dimensione di ogni quartiere è $d \leq 40N-1$, il lemma si applica ogni volta $ep(d+1) \leq 1$, questo è