Rilevare le progressioni aritmetiche "doppiamente" 3SUM è difficile?

Questo si ispira a una domanda di intervista .

Ci viene data una matrice di numeri interi e dobbiamo determinare se esistono distinti tali che i < j < $a_1, \dots, a_n$$i \lt j \lt k$

• $a_k - a_j = a_j - a_i$
• $k - j = j - i$

cioè, le sequenze e sono entrambe in progressione aritmetica.{ i , j , k $\{a_i, a_j, a_k\}$$\{i,j,k\}$

Esiste un semplice algoritmo per questo, ma trovare un algoritmo sub-quadratico sembra inafferrabile.$O(n^2)$

È un problema noto? Possiamo provare la durezza 3SUM di questo? (o forse fornire un algoritmo sub-quadratico?)

Se vuoi, puoi assumere e che per una costante nota . (Nel problema dell'intervista, ).un r + 1 - un r ≤ K K > 2 K = $0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$$a_{r+1} - a_{r} \le K$$K > 2$$K = 9$

Questo è un problema aperto.

Forse una forma debole di durezza 3SUM potrebbe essere dimostrata adattando un risultato del documento STOC 2010 di Mihai Pătrașcu " Verso limiti inferiori polinomiali per problemi dinamici ". Innanzitutto, vorrei definire una sequenza di problemi strettamente correlati. L'input per ciascun problema è un array ordinato di interi distinti.$A[1..n]$

• 3SUM: ci sono indici distinti tali che A [ i ] + A [ j ] = A [ k ] ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = A[k]$

• Convolution3SUM: ci sono indici tali che A [ i ] + A [ j ] = A [ i + j ] ?$i<j$$A[i] + A[j] = A[i+j]$

• Media: ci sono indici distinti tali che A [ i ] + A [ j ] = 2 A [ k ] ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = 2 A[k]$

• ConvolutionAverage: ci sono indici tali che A [ i ] + A [ j ] = 2 A [ ( i + j ) / 2 ] ? (Questo è il problema che stai chiedendo.)$i<j$$A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

Nella mia tesi di dottorato, ho dimostrato che tutti e quattro questi problemi richiedono tempo in un modello di calcolo dell'albero delle decisioni che consente solo query della forma "Is α A [ i ] + β A [ j ] + γ A [ k ] + δ positivo, negativo o zero? ", Dove α , β , γ , δ sono numeri reali (che non dipendono dall'input). In particolare, qualsiasi algoritmo 3SUM in questo modello deve porre la domanda "Is A [ $\Omega(n^2)$$\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$$\alpha,\beta,\gamma,\delta$ più grande, più piccolo o uguale a A [ k ] ? "Almeno Ω ( n 2 ) volte. Quel limite inferiore non esclude algoritmi subquadratici in un modello di calcolo più generale - anzi, è possibileradere alcuni fattori di login vari modelli di RAM interi, ma nessuno sa quale tipo di modello più generale potrebbe aiutare in modo più significativo.$A[i] + A[j]$$A[k]$$\Omega(n^2)$

Usando un'attenta riduzione dell'hash, Pǎtrașcu ha dimostrato che se 3SUM richiede tempo previsto, per qualsiasi funzione f , Convolution3SUM richiede Ω ( n 2 / f 2 ( n ⋅ f ( n ) ) ) previsto tempo. Pertanto, è ragionevole affermare che Convolution3SUM è "debolmente 3SUM-difficile". Ad esempio, se Convolution3SUM può essere risolto in O ( n 1.8 ) tempo, allora 3SUM può essere risolto in O $\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$$O(n^{1.8})$ tempo.$O(n^{1.9})$

Non ho approfondito i dettagli, ma scommetto che un argomento parallelo implica che se Average richiede tempo previsto, per qualsiasi funzione f , allora ConvolutionAverage richiede Ω ( n 2 / f 2 ( n ⋅ f ( n ) ) ) tempo previsto. In altre parole, ConvolutionAverage è "debolmente medio-difficile".$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

Sfortunatamente, non è noto se Average sia (anche debolmente) 3SUM difficile! Ho il sospetto che media è in realtà non 3sum-duri, se non altro perché l' limite inferiore per media$\Omega(n^2)$ è considerevolmente più difficile da dimostrare che l' limite inferiore per 3sum$\Omega(n^2)$ .

Fare anche per il caso particolare in cui elementi dell'array adiacenti differiscono di meno di alcuni fisso intero . Per 3SUM e Average, questa variante può essere risolta nel tempo O ( n log n ) usando le trasformazioni Fast Fourier come segue. (Questa osservazione è dovuta a Raimund Seidel.) $K$$O(n \log n)$

Costruire un vettore di bit , dove B [ i ] = 1 se e solo se il numero intero A [ 1 ] + i appare nella matrice di ingresso A . Calcola la convoluzione di B con se stessa in O ( K n log K n ) = O ( n log n ) tempo usando gli FFT. L'array risultante ha un valore diverso da zero in $B[0..Kn]$$B[i]=1$$A[1]+i$$A$$B$$O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$$j$posizione se e solo se una coppia di elementi in somma a 2 A [ 1 ] + j . Pertanto, possiamo estrarre un elenco ordinato di somme A [ i ] + A [ j ] dalla convoluzione nel tempo O ( n ) . Da qui, è facile risolvere Average o 3SUM in O ( n ) time.$A$$2A[1] + j$$A[i]+A[j]$$O(n)$$O(n)$

Ma non conosco un trucco simile per Convolution3SUM o ConvolutionAverage!