Campionamento perfetto che si abbina uniformemente a caso

Supponiamo di avere un grafo con del (sconosciuta) insieme di perfetti accostamenti di . Supponiamo che questo set non sia vuoto, quindi quanto è difficile campionare uniformemente a caso da ? Cosa succede se sto bene con una distribuzione vicina all'uniforme, ma non del tutto uniforme, allora esiste un algoritmo efficiente? $G$ $M(G)$ $G$ $M(G)$

— Artem Kaznatcheev
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Sai qualcosa di più su

? O in altre parole, saresti interessato a qualche lezione con grafici ristretti?

G

$G$

— Juho

@Juho Preferisco i risultati per i grafici generali, in particolare per quelli densi (quindi ciò che Yuval menziona nella sua risposta sembra promettente). Ho visto alcuni risultati per i grafici planari prima, penso. Tuttavia, poiché questa è una domanda generale, se hai una risposta per alcune famiglie interessanti di grafici, probabilmente vale comunque la pena di rispondere, dato che ad altri che cercano questa domanda potrebbe piacere sapere.

— Artem Kaznatcheev il

Giusto per essere chiari, suppongo che tu non abbia

a portata di mano?

M (G)

$M(G)$

— Raffaello

@Raphael Penso che la domanda sarebbe banale se lo facessi. In effetti penso che la domanda sarebbe relativamente semplice se tu avessi semplicemente

, poiché di solito esiste una corrispondenza tra conteggio e campionamento. O intendevi "a portata di mano" in qualche altro modo?

| M (G) |

$|M(G)|$

— Artem Kaznatcheev il

Vedo. Ho trovato ambiguo il tuo fraseggio, che ho cercato di correggere. Ho capito bene?

— Raffaello

Risposte:

C'è un articolo classico di Jerrum e Sinclair (1989) sul campionamento di abbinamenti perfetti da grafici densi. Un altro articolo classico di Jerrum, Sinclair e Vigoda (2004; pdf) discute il campionamento di abbinamenti perfetti da grafici bipartiti.

Entrambe queste carte usano una rapida miscelazione delle catene di Markov, e quindi i campioni sono solo quasi uniformi. Immagino che un campionamento uniforme sia difficile.

— Yuval Filmus
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Se si assume che il grafico sia planare, esiste una procedura temporale polinomiale per questo problema di campionamento.

Innanzitutto, il problema del conteggio del numero di corrispondenze perfette è in P per i grafici planari. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (Una buona esposizione di questo fatto può essere trovata nel primo capitolo del libro di Jerrum su Conteggio, Campionamento e Integrazione.)

$e$ $G$ $G \setminus e$ $e$ $G$ . Campionare un bordo in base a questa probabilità e continuare induttivamente.

(Questo sta sfruttando il fatto che gli abbinamenti sono una struttura "auto-riducibile", quindi i problemi di conteggio e problemi di campionamento uniformi sono essenzialmente gli stessi. Puoi vedere JVV "Generazione casuale di strutture combinatorie da una distribuzione uniforme" per ulteriori informazioni al riguardo punto di vista.)

Una semplice prova che ciò fornisce la corretta distribuzione:

$c(H)$ $H$ $n!$ $n = H/2$

$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$

$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$ $G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$ $e_n$ $1 / c(G)$

— Lorenzo Najt
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