Colora un albero binario per essere un albero rosso-nero

Una domanda di intervista comune è quella di fornire un algoritmo per determinare se un determinato albero binario è bilanciato in altezza (definizione dell'albero AVL).

Mi chiedevo se possiamo fare qualcosa di simile con gli alberi Rosso-Nero.

Dato un albero binario non colorato arbitrario (con nodi NULL), esiste un algoritmo "veloce" che può determinare se possiamo colorare (e trovare una colorazione) i nodi Rosso / Nero in modo che soddisfino tutte le proprietà di un albero Rosso-Nero (definizione come in questa domanda )?

Un primo pensiero è stato che possiamo semplicemente rimuovere i nodi NULL e provare a verificare ricorsivamente se l'albero risultante può essere un albero rosso-nero, ma questo non sembra andare da nessuna parte.

Ho fatto (una breve) ricerca sul Web di documenti, ma non sono riuscito a trovarne nessuno che sembra affrontare questo problema.

È possibile che mi manchi qualcosa di semplice.

— Aryabhata
fonte

Sono abbastanza sicuro che un albero possa essere di colore rosso-nero iff per ogni nodo, il percorso più lungo da esso a un nodo NULL non è più di due volte più lungo di quello più corto. È abbastanza veloce?

— Karolis Juodelė,

Risposte:

Se per ogni nodo di un albero, il percorso più lungo da esso a un nodo foglia non è più di due volte più lungo di quello più corto, l'albero ha una colorazione rosso-nera.

Ecco un algoritmo per capire il colore di qualsiasi nodo n

if n is root,
    n.color = black
    n.black-quota = height n / 2, rounded up.

else if n.parent is red,
    n.color = black
    n.black-quota = n.parent.black-quota.

else (n.parent is black)
    if n.min-height < n.parent.black-quota, then
        error "shortest path was too short"
    else if n.min-height = n.parent.black-quota then
        n.color = black
    else (n.min-height > n.parent.black-quota)
        n.color = red
    either way,
        n.black-quota = n.parent.black-quota - 1

Ecco n.black-quotail numero di nodi neri che ti aspetti di vedere andare a una foglia, dal nodo ned n.min-heightè la distanza dalla foglia più vicina.

Per brevità della notazione, sia , e $b(n) =$ n.black-quota $h(n) =$ n.height $m(n) =$ n.min-height .

Teorema: fissare un albero binario . Se per ogni nodo , e per nodo , $T$ $n \in T$ $h(n) \leq 2m(n)$ $r = \text{root}(T)$ quindiha una colorazione rosso-nera con esattamentenodi neri su ogni percorso dalla radice alla foglia. $b(r) \in [\frac{1}{2}h(r), m(r)]$ $T$ $b(r)$

Prova: induzione su $b(n)$ .

Verifica che tutti e quattro gli alberi di altezza uno o due soddisfino il teorema con . $b(n) = 1$

Per definizione dell'albero rosso-nero, la radice è nera. Sia un nodo con un genitore nero tale che $n$ $p$ . Quindi,e. $b(p) \in [\frac{1}{2}h(p), m(p)]$ $b(n) = b(p) -1$ $h(n) = h(p)-1$ $h(n) \geq m(n) \geq m(p)-1$

Supponiamo che il teorema valga per tutti gli alberi con radice , $r$ $b(r) < b(q)$ .

Se , allora $b(n) = m(n)$ $n$ può essere di colore rosso-nero dal presupposto induttivo.

Se quindi $b(p) = \frac{1}{2}h(p)$ . non soddisfa il presupposto induttivo e quindi deve essere rosso. Siafiglio di. e $b(n) = \lceil \frac{1}{2}h(n) \rceil - 1$ $n$ $c$ $n$ $h(c) = h(p)-2$ . Quindi $b(c) = b(p)-1 = \frac{1}{2}h(p)-1 = \frac{1}{2}h(c)$ $c$ può essere di colore rosso-nero dal presupposto induttivo.

Si noti che, con lo stesso ragionamento, se $b(n) \in (\frac{1}{2}h(r), m(r))$ $n$ $n$ $n$

— Karolis Juodelė
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@Aryabhata, qualsiasi traversata va bene, purché il genitore sia visto davanti ai suoi figli. Non ho una prova formale scritta, ma ho un'idea di come sarebbe. Proverò a scrivere qualcosa quando posso.

— Karolis Juodelė,

@Aryabhata, ho aggiunto una prova. Mi dispiace di aver impiegato così tanto tempo.

— Karolis Juodelė,

@Aryabhata, l'idea è che se

b (p)

$b(p)$ di qualche nodo

p

$p$ è dentro certi limiti, un figlio o un nipote

c

$c$ di

p

$p$ può avere

b (c)

$b(c)$ all'interno di quegli stessi limiti. avere

b (n)

$b(n)$ in tali limiti può corrispondere

n

$n$ being black. Most of the proof is about bounding

h

$h$ and

m

$m$ of a child or grandchild, given

h

$h$ and

m

$m$ of the parent or grandparent. Your tree is certainly colorable.

b (r o o t) = 8

$b(root) = 8$ , left child is black and right child is red, the path of length 16 is

b r b r b r \dots

$brbrbr\dots$ , the path of length 8 is

b b b b b b b b

$bbbbbbbb$ , paths of 9 and 12 can have multiple valid colorings.

— Karolis Juodelė

There's a question about this answer.

— David Richerby

I believe Karolis' answer is correct (and a pretty nice characterization of red-black trees, giving an $O(n)$ time algorithm), just wanted to add another possible answer.

One approach is to use dynamic programming.

Given a tree, for each node $n$ , you construct two sets: $S_R(n)$ and $S_B(n)$ which contains the possible black-heights for the subtree rooted at $n$ . $S_R(n)$ contains the black-heights assuming $n$ is coloured Red, and $S_B(n)$ assuming $n$ is coloured black.

Now given the sets for $n.Left$ and $n.Right$ (i.e direct children of $n$ ), we can compute the corresponding sets for $n$ , by taking appropriate intersections and unions (and incrementing as needed).

I believe this comes out be an $O(n \log n)$ time algorithm.

— Aryabhata
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