È possibile risolvere qualsiasi problema NP-completo utilizzando nella maggior parte dello spazio polinomiale (ma durante l'utilizzo del tempo esponenziale?)

Ho letto di NPC e la sua relazione con PSPACE e vorrei sapere se i problemi di NPC possono essere risolti in modo deterministico usando un algoritmo con il requisito di spazio polinomiale nel peggiore dei casi, ma prendendo potenzialmente tempo esponenziale (2 ^ P (n) dove P è polinomiale).

Inoltre, può essere generalizzato a EXPTIME in generale?

Il motivo per cui lo sto chiedendo è che ho scritto alcuni programmi per risolvere casi degenerati di un problema NPC e che possono consumare grandi quantità di RAM per istanze difficili e mi chiedo se esiste un modo migliore. Per riferimento consultare https://fc-solve.shlomifish.org/faq.html .

— Pesce Shlomi
fonte

In generale, quanto segue vale per qualsiasi algoritmo:

Supponiamo che $A$ sia un algoritmo che gira in $f(n)$ time. Allora $A$ non può richiedere più di $f(n)$ spazio, poiché crei $f(n)$ bit richiede $f(n)$ tempo.
Supponiamo che $A$ sia un algoritmo che richiede spazio $f(n)$ . Quindi in $2^{f(n)}$ tempo, $A$ può visitare ciascuno dei suoi diversi stati, quindi non può ottenere nulla eseguendo più di $2^{f(n)}$ tempo.

Ne consegue che:

$\mathbf{NP}$ $\subseteq \mathbf{PSPACE}$

Lo stato è noto come parte delle relazioni tra le classi, come illustrato dal seguente diagramma:

La spiegazione è semplice: un problema $Q$ $\in$ $\mathbf{NP}$ ha un certificato di lunghezza polinomiale $y$ . Un algoritmo che testa tutti i possibili certificati è un algoritmo che decide $Q$ nel tempo $\large 2^{n^{O(1)}}$ .

Il suo spazio richiesto è:

$y$ (polinomio in $n$ )
spazio richiesto per verificare $y$ . Poiché $y$ è un certificato polinomiale, può essere verificato in tempi polinomiali, quindi non può richiedere più dello spazio polinomiale.

Poiché la somma di due polinomi è anche un polinomio, $Q$ può essere deciso con lo spazio polinomiale.

Esempio:

Supponiamo che $\varphi$ sia un'istanza di 3-CNF su valori letterali $x_1 \dots x_n$ , con clausole $m$ . Un'assegnazione $f$ è una funzione $f:\{x_1\dots x_n\} \rightarrow \{0,1\}$ .

Sostiene che:

Ci sono $2^n$ incarichi diversi.
Data un'assegnazione $f$ , ci vuole tempo $O(m)$ per calcolare il valore di $\varphi$ , quindi non può richiedere più di $O(m)$ spazio.

Quindi un algoritmo $A$ che controlla tutti i possibili compiti utilizzerà lo spazio polinomiale, verrà eseguito in tempo esponenziale e deciderà 3-SAT.

Ne consegue che:

3-SAT $\in \mathbf{PSPACE}$ , e poiché 3-SAT è NP-completo, $\mathbf{NP}$ $\subseteq \mathbf{PSPACE}$

— LOX
fonte

Perché EXPSPACE e EXPTIME sono correlati? Pensavo che il tempo e lo spazio fossero risorse diverse. Un esempio che viene in mente è la rottura di uno schema crittografico, che richiederebbe uno spazio EXPTIME, ma costante

— WeCanBeFriends,

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

2^{f (n)}

$2^{f(n)}$

\subseteq

$\subseteq$

F (n) è diverso da O (n) nel tuo esempio?

— WeCanBeFriends,

@WeCanBeFriends Non si può impiegare tempo esponenziale con spazio costante: è necessario almeno lo spazio utilizzato per contare fino a quel numero esponenziale (ad esempio il contatore del programma di un linguaggio assembly), che è polinomiale (logaritmico in esponenziale)

— gigabyte

P \neq E X P T I M E

$P\not = EXPTIME$

Sì. Ecco uno schizzo di una prova diretta.

$\mathrm{NP}$ $M$ $p$ $M$ $n$ $p(n)$ $p(n)$

$c$ $M$ $M$ $c$ $c^{p(n)}$ $n$ $c^{p(n)}$ $p(n)$ $c$ $p(n)$ $M$ $i$ $i$ $i$ $6$

$0\dots 0$ $M$ $c-1$ $c^{p(n)}p(n)$ $2p(n)$

— David Richerby
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