Semplice problema di interpretazione riguardante la Gerarchia polinomiale?

Così $NP$ rappresenta problemi in cui abbiamo piccoli testimoni verificabili $YES$ istanze e $coNP$ per piccoli testimoni verificabili per $NO$ le istanze. Come funziona?

$P^{NP}$
$NP^{NP}$
$coNP^{NP}$
e così via?

complexity-theory np

— T ....
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Risposte:

C'è un'interpretazione logica dei vari livelli della gerarchia polinomiale, che estende la caratterizzazione del testimone di $\mathsf{NP}$ e $\mathsf{coNP}$ .

Una lingua $L$ è dentro $\Sigma_k^P$ se esiste un predicato polytime $f$ e un polinomio $\ell$ tale che

x \in L \Leftrightarrow \exists | y_{1} | \leq ℓ (| x |) \forall | y_{2} | \leq ℓ (| x |) \dots Q | y_{k} | \leq ℓ (| x |) f (x, y_{1}, \dots, y_{k}) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y_1| \le \ell(|x|) \; \forall |y_2| \le \ell(|x|) \; \cdots Q |y_k| \le \ell(|x|) \; f(x,y_1,\ldots,y_k).$ Qui:

$\exists |y| \le \ell(|x|)$ significa che esiste un numero $y$ la cui lunghezza è al massimo $\ell(|x|)$ tale che ...
$\forall |y| \le \ell(|x|)$ significa che per tutti $y$ la cui lunghezza è al massimo $\ell(|x|)$ , vale quanto segue ...
$Q$ è $\exists$ Se $k$ è strano e $\forall$ Se $k$ è anche.

Allo stesso modo, $L$ è dentro $\Pi_k^P$ se può essere scritto in modo simile, iniziando solo con $\forall$ .

Come esempio, $\mathsf{NP}^{\mathsf{NP}}$ è $\Sigma_2^P$ e comprende tutte le lingue tali

x \in L \Leftrightarrow \exists | y_{1} | \leq ℓ (| x |) \forall | y_{2} | \leq ℓ (| x |) f (x, y_{1}, \dots, y_{k}) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y_1| \leq \ell(|x|) \; \forall |y_2| \leq \ell(|x|) \; f(x,y_1,\ldots,y_k).$ Come altro esempio,

{c o N P}^{N P}

$\mathsf{coNP}^{\mathsf{NP}}$ è

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^P$ .

Il tuo terzo esempio è $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ , che è $\Delta_2^P$ . Non sono sicuro di quale sia la caratterizzazione logica.

— Yuval Filmus
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Questo vecchio post MO ha alcune caratterizzazioni di

Δ_{2}^{P}

$\Delta_2^P$ , sebbene nessuno sembri puramente logico. Potrebbe essere possibile scriverne uno in una forma puramente logica.

— Lucertola discreta

@YuvalFilmus Potresti essere più prolisso su questo almeno per

N P^{N P}

$NP^{NP}$ ?

— T ....

Dire $\mathsf{NP}$ contiene problemi con "piccoli testimoni verificabili" è concettualmente inesatto nella migliore delle ipotesi. I testimoni sono limitati solo dal punto di vista polinomiale perché vogliamo che il verificatore sia efficiente (vale a dire, eseguito in tempo polinomiale). In tale contesto, solo un prefisso polinomialmente lungo di qualsiasi testimone può essere rilevante, quindi perché insistiamo su testimoni polinomialmente lunghi. Inoltre, "piccolo" significa potenzialmente costante o logaritmico; quelli non sono usati, ovviamente, perché possono essere forzati dagli algoritmi del tempo polinomiale (e ci danno solo problemi $\mathsf{P}$ ).

Il modo in cui la nozione di sistema di prova di $\mathsf{NP}$ generalizza per cedere la gerarchia polinomiale è molto simile al punto di vista logico che Yuval Filmus descrive nella sua risposta. Consentitemi di presentare la visione meno tecnica alla base.

Consideriamo i giochi a due parti basati su QBF. Un'istanza (o il "tabellone" se ti interessa immaginarlo come un gioco da tavolo come scacchi o pedine) di un tale gioco è una formula $\varphi(x_1, y_1, \ldots, x_m, y_m)$ , e i due giocatori, diciamo $A$ e $B$ , a turno scegliendo valori per $x_i$ e $y_i$ , rispettivamente. Ciascuna di queste scelte costituisce una mossa . Quando non rimangono più valori, viene valutata la formula (ovvero la posizione finale del gioco); $A$ vince se è vero, e $B$ vince se è falso.

Questo gioco modella i quantificatori esistenziali e universali nel modo seguente: Se la formula è un vero QBF, allora $A$ (che svolge il ruolo di quantificatori esistenziali) avrà sempre una strategia vincente e sarà in grado di scegliere una serie di $x_1, \ldots, x_m$ quale causa $\varphi$ essere vero indipendentemente dai valori $y_1, \ldots, y_m$ scelto da $B$ (che svolge il ruolo di quantificatori universali). Le istanze "sì" sono quelle in cui il QBF è vero, ovvero $A$ ha sempre una strategia vincente, indipendentemente da come $B$ gioca.

$\Sigma_i$ e $\Pi_i$ quindi corrispondono ai giochi che durano $i$ mosse e in cui $A$ e $B$ , rispettivamente, iniziare per primi. In realtà, hai anche $\textsf{PSPACE}$ e il $\textsf{PH} \subseteq \textsf{PSPACE}$ inclusione come bonus poiché corrisponde alla classe di giochi che si svolgono per un numero arbitrario (sebbene predeterminato) di mosse.

Si noti anche che $\Sigma_1 = \mathsf{NP}$ e $\Pi_1 = \mathsf{coNP}$ sono casi piuttosto degenerati di questi giochi perché $B$ e $A$ , rispettivamente, non hai la possibilità di muoverti affatto! Ad esempio, per le istanze "yes" di $\Pi_1 = \mathsf{coNP}$ , $A$ arriva a vincere semplicemente non facendo nulla (poiché un'istanza "sì" è una tautologia ed è vera indipendentemente da cosa $B$ sceglie).

Esiste anche una versione più generalizzata di quanto sopra che si basa su giochi generici (e non specificamente su QBF). Puoi trovarlo, ad esempio, nella sezione 5.4 "PSPACE e giochi" di "Computational Complicità: una prospettiva concettuale" di Goldreich ( ecco un link gratuito alla versione bozza; vedi p. 174 e pagg. 118-121) .

— dkaeae
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Grazie. Come si riflettono le proprietà del gioco

P^{N P}

$P^{NP}$ ,

N P^{N P}

$NP^{NP}$ e

c o N P^{N P}

$coNP^{NP}$ (come se ci fosse un breve testimone di lunghezza polinomiale per ogni mossa

A

$A$ o qualcosa del genere?)

— T ....

Nella versione generica del libro di Goldreich che ho citato, puoi scoprire che abbiamo bisogno dei seguenti dettagli: 1. "ogni mossa ha una lunghezza descrittiva che è delimitata da un polinomio nella lunghezza della posizione iniziale "; 2. l'aggiornamento della posizione corrente può essere effettuato in tempo polinomiale (rispetto alla lunghezza della posizione iniziale); 3. determinare il vincitore dalla posizione finale richiede tempo polinomiale. Questi sono tutti soddisfatti dal gioco QBF.

— dkaeae,

"I testimoni [per NP] sono limitati solo dal punto di vista polinomiale perché vogliamo che il verificatore sia efficiente (vale a dire, eseguito in tempo polinomiale)" Non è proprio vero. La verifica è in tempo polinomiale rispetto alla lunghezza del testimone, quindi il testimone è verificabile "in modo efficiente" indipendentemente da quanto tempo dura. Richiediamo che il testimone sia limitato polinomialmente perché ciò corrisponde al limite temporale polinomiale della TM non deterministica a cui sta assistendo il testimone.

— David Richerby,

@DavidRicherby In realtà, per le TM non deterministiche (offline) è irrilevante se l'input non deterministico sia anche limitato o meno (cioè una stringa infinita). In quella cornice,

N P

$\mathsf{NP}$ è l'insieme di problemi decidibili in una quantità polinomiale di passi nella lunghezza dell'input. Che questo sia anche un polinomio nel numero di bit non deterministici utilizzati è un effetto collaterale (desiderabile). Per il non determinismo online, ancora di più. La lunghezza del testimone è dettata dal tempo limitato, non viceversa.

— dkaeae,

@ThomasKlimpel In effetti, intendevo dire

Σ_{i}

$\Sigma_i$ . Grazie per segnalarlo. Grazie anche per aver fornito una risposta approfondita; Non sapevo che ci fosse (almeno in parte) una "simpatica" caratterizzazione logica di

Δ_{i}

$\Delta_i$ (e non ne ho trovato nessuno in letteratura) +1

— dkaeae

$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ è la chiusura di $\mathsf{NP}$ in tempo polinomiale Riduzioni di Turing (= Riduzioni di Cook). Pertanto, è chiuso in Riduzioni Cook, quindi abbiamo $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}}$ . In effetti, per qualsiasi oracolo $\mathsf{A}$ , definiamo $\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$ come la chiusura di $\mathsf{A}$ sotto le riduzioni di Cook, e abbiamo sempre $\mathsf{P}^{\mathsf{A}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ e $\mathsf{NP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{NP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ . Anche $\mathsf{coNP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{coNP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ e $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{coNP}}$ . Ma le riduzioni di Cook sembrano leggermente innaturali per problemi di decisione.

Nota che $\mathsf{P}$ è una classe di funzioni sotto mentite spoglie, e quella $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ anche è una classe di funzioni sotto mentite spoglie. Scriviamo $\mathsf{PF}$ per la classe di funzioni parziali calcolabili nel tempo polinomiale, ovvero la classe di funzione corrispondente a $\mathsf{P}$ , e $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ per la classe di funzione corrispondente a $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ . L'inclusione delle funzioni parziali consente di utilizzare la notazione consolidata (utilizzata in una tassonomia delle classi di complessità delle funzioni di A. Selman, 1994) che evita lo scontro di nomi con la classe non correlata $\mathsf{FP}$ .

La riduzione della cottura sembra più naturale per le classi di funzioni. Probabilmente hai riscontrato una riduzione di Cook (e implicitamente anche la classe $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ ) nel punto in cui il tuo libro di testo o professore ha spiegato perché è OK esaminare solo i problemi di decisione. In genere, qualcosa come un algoritmo (da $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ ) per calcolare l'ultima assegnazione soddisfacente dal punto di vista lessicografico di una determinata istanza SAT. Uno prima chiede all'oracolo se c'è qualche assegnazione soddisfacente, quindi determina i valori delle variabili (binarie) $x_k$ chiedendo successivamente all'oracolo se esiste un compito soddisfacente dove $x_1,\dots,x_{k-1}$ sono impostati sui valori già determinati e $x_k$ è impostato per $1$ . Se sì, allora uno imposta $x_k$ per $1$ , altrimenti si imposta $x_k$ per $0$ . (Si noti che questa è una funzione parziale, poiché la funzione è indefinita nel caso in cui non vi siano assegnazioni soddisfacenti.)

Vorrei provare a dire alcune parole sull'osservazione di Yuval Filmus:

Il tuo terzo esempio è $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ , che è $\Delta_2^P$ . Non sono sicuro di quale sia la caratterizzazione logica.

Esistono due difficoltà da superare: (1) la caratterizzazione di una classe di funzioni ha un aspetto diverso rispetto alla caratterizzazione logica di una classe di decisione e (2) almeno per $\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$ dobbiamo modellare il carattere deterministico delle domande sull'oracolo $\mathsf{A}$ .

Se guardiamo la classe $\mathsf{UPF}$ di funzioni parziali corrispondenti alla classe $\mathsf{UP}$ prima dei problemi di decisione, quindi possiamo ignorare (2) per un momento: una funzione parziale $pf$ è dentro $\mathsf{UPF}^{\Sigma_k^P}$ se esiste una funzione parziale polytime $p$ , un predicato polytime $f$ e un polinomio $\ell$ tale che $pf(x)=p(x,z)$ dove

\exists_{\leq 1} | z | \leq ℓ (| x |) p (x, z) \neq ⊥ \land \exists | y_{1} | \leq ℓ (| x |) \forall | y_{2} | \leq ℓ (| x |) \dots Q | y_{k} | \leq ℓ (| x |) f (x, y_{1}, \dots, y_{k}, z) .

$\exists_{\leq 1} |z|\le \ell(|x|)p(x,z)\neq\bot\land\exists |y_1| \le \ell(|x|) \; \forall |y_2| \le \ell(|x|) \; \cdots Q |y_k| \le \ell(|x|) \; f(x,y_1,\ldots,y_k,z).$ Qui:

$\exists |y| \le \ell(|x|)$ significa che esiste un numero $y$ la cui lunghezza è al massimo $\ell(|x|)$ tale che ...
$\forall |y| \le \ell(|x|)$ significa che per tutti $y$ la cui lunghezza è al massimo $\ell(|x|)$ , vale quanto segue ...
$Q$ è $\exists$ Se $k$ è strano e $\forall$ Se $k$ è anche.

Si potrebbe provare a superare (2) introducendo gli operatori $\operatorname{BIT}(z,i):=z[i]$ e $\operatorname{TRUNC}(z,i):=z\left|_{[1,i)}\right.$ . Ma sarebbe ancora brutto e si può discutere se ciò costituirebbe davvero una caratterizzazione logica.

— Thomas Klimpel
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