Tutti i problemi di Programmazione lineare integer sono NP-Hard?

A quanto ho capito, il problema di assegnazione è in P poiché l'algoritmo ungherese può risolverlo in tempo polinomiale - O (n ³ ). Capisco anche che il problema di assegnazione è un problema di programmazione lineare intera , ma la pagina di Wikipedia afferma che questo è NP-Hard. Per me, questo implica che il problema di assegnazione è in NP-Hard.

Ma sicuramente il problema di assegnazione non può essere in P e NP-Hard, altrimenti P sarebbe uguale a NP? La pagina di Wikipedia significa semplicemente che l'algoritmo generale per risolvere tutti i problemi ILP è NP-Hard? Alcune altre fonti affermano che ILP è NP-Hard, quindi questo mi sta davvero confondendo la mia comprensione delle classi di complessità in generale.

Se un problema è NP-Hard significa che esiste una classe di istanze di quel problema che sono NP-Hard. È perfettamente possibile che altre classi specifiche di istanze siano risolvibili in tempi polinomiali.

Si consideri ad esempio il problema di trovare una 3 colorazione di un grafico . È un noto problema NP-Hard. Ora immagina che le sue istanze siano limitate ai grafici che sono, ad esempio, alberi. Chiaramente puoi facilmente trovare una 3 colorazione di un albero in tempo polinomiale (in effetti puoi anche trovare una 2 colorazione).

Considera i problemi di decisione per un secondo. Un metodo per dimostrare la durezza di un problema decisionale è escogitare una riduzione polinomiale (Karp) da un altro problema Q che è noto per essere NP-Hard. In questa riduzione si mostra che esiste una funzione f che associa ciascuna istanza q del problema Q a un'istanza del problema P tale che: q è un'istanza sì per $P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$ è un esempio sì per P . Ciò implica che risolvere f ( q ) deve essere "almeno altrettanto difficile" come risolvere q stesso.$Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$

$f$$P$$P$

Per tornare alla domanda originale:

• Il problema di assegnazione può essere risolto in tempo polinomiale, ovvero una soluzione a ciascuna istanza del problema di assegnazione può essere calcolata in tempo polinomiale.
• ILP è NP-Hard: in generale potrebbe essere difficile calcolare una soluzione a un problema ILP, cioè ci sono casi di ILP che sono difficili.
• Alcuni casi specifici di ILP possono essere risolti in tempi polinomiali.

No, casi speciali possono essere più facili.

$a_i \geq 0$$i \in [1..n]$

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

st e per .$\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$xi∈Ni∈[1 ..n]
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

Trova il minimo tra (quello per cui, inevitabilmente, in una soluzione ottimale). Trovare il minimo di numeri è chiaramente un problema polinomiale.$a_1, \dots, a_n$$x_i=1$$n$

È possibile modellare un problema risolvibile polinomialmente come un IP. Ciò non significa che il problema sia NP-difficile. Significa semplicemente che non esiste un algoritmo polinomiale noto per risolvere il modello IP del problema (a meno che P = NP).

Quindi, come hai suggerito, il problema di assegnazione è in P ma il tuo modello IP è NP-difficile.

No, esiste un tipo speciale di programma intero, se la matrice del vincolo è TUM (matrice totalmente unimodulare), allora può essere rilassata nel programma lineare, che può essere risolto in tempo polinomiale.

Il problema di assegnazione non è un ILP, ma un problema LP e quindi non NP-difficile.