Quando stavo spiegando la prova Baker-Gill-Solovay che esiste un oracolo con cui possiamo avere, , e un oracolo con cui possiamo avere ad un amico, è una domanda sul perché tali tecniche siano provare il e non ho potuto dare una risposta soddisfacente.
Per dirla più concretamente, se ho un approccio per dimostrare e se potessi costruire oracoli per far accadere una situazione come sopra, perché rende il mio metodo non valido?
Qualche esposizione / pensieri su questo argomento?
Risposte:
Per dirla più concretamente, se ho un approccio per dimostrare P ≠ NP e se potessi costruire oracoli per far accadere una situazione come sopra, perché rende il mio metodo non valido?
Si noti che quest'ultimo "se" non è una condizione, perché Baker, Gill e Solovay hanno già costruito un simile oracolo. È solo una verità matematica che (1) esiste un oracolo rispetto al quale P = NP, e che (2) esiste un oracolo rispetto al quale P ≠ NP.
Ciò significa che se si ha un approccio per dimostrare P ≠ NP e la stessa dimostrazione dimostrerebbe ugualmente un risultato più forte "P A ≠ NP A per tutti gli oracoli A ", il vostro approccio è destinato a fallire perché contraddirebbe (1).
In altre parole, esiste una differenza fondamentale tra la dimostrazione di P prov NP e la dimostrazione, ad esempio, del teorema della gerarchia temporale, poiché la dimostrazione di quest'ultima utilizza solo la diagonalizzazione ed è ugualmente applicabile a qualsiasi mondo relativizzato.
Naturalmente, ciò non significa che non ci siano prove per P ≠ NP. Una tale prova (se ne esiste una) non deve dimostrare il risultato più forte di cui sopra. In altre parole, una parte della dimostrazione deve distinguere il mondo non relativizzante dai mondi relativizzati arbitrari.
Ci sono già buone risposte, ma vorrei aggiungere alcuni piccoli punti.
Supponiamo di avere una tecnica per risolvere i problemi, ad esempio la diagonalizzazione . Supponiamo che vogliamo mostrare che la tecnica non può risolvere un problema specifico ad esempio vs. N P . Come può essere mostrato questo?
Prima di andare oltre, nota che una tecnica come la diagonalizzazione non è un concetto formale qui (anche se possiamo farcela). Inoltre, il fatto che la tecnica non possa risolvere il problema da sola non significa che non sia affatto utile per risolvere il problema, potremmo essere in grado di modificarlo e / o combinarlo con altre tecniche per risolvere il problema.
Ora torniamo alla domanda. Un modo per dimostrare che una tecnica non è in grado di risolvere un problema specifico è quello di dimostrare che se potesse funzionare anche in un contesto diverso per risolvere un'altra domanda, la risposta che otterremmo in quel caso sarebbe sbagliata. Questo è ciò che accade qui. Se la diagonalizzazione potuto separarli dalla P allora lo stesso argomento potrebbe essere utilizzato per separare N P A da P A per tutti A . Ma noi sappiamo che c'è un oracolo tale che questo è falso (prendere qualsiasi P S P a c e Completa problema come l'oracolo). Quindi la diagonalizzazione non può separare N da P .
Il punto essenziale di questo argomento è una sorta di principio di trasferimento :
possiamo trasferire un argomento di diagonalizzazione per TM senza oracolo a TM con oracoli.
Questo è possibile qui perché gli argomenti di diagonalizzazione si basano sulla simulazione di macchine, inoltre la simulazione non dipende dagli interni delle macchine ma solo dalle risposte finali di queste simulazioni. Questo tipo di diagonalizzazione viene definita semplice diagonalizzazione . In una simulazione non importa come funziona la macchina, ci importa solo la risposta finale della macchina. L'aggiunta di un oracolo non cambierà questo, quindi la simulazione e l'argomento funzioneranno anche nel quadro in cui abbiamo oracoli.
Più formalmente, possiamo pensare a un argomento di diagonalizzazione come una funzione da una classe di macchine (diciamo ) alle istanze che mostrano che la macchina non è in grado di risolvere un problema (diciamo S A T ). Questa funzione di controesempio è la funzione di diagonalizzazione. Una diagonalizzazione è semplice se i controesempi che dà non dipendono dagli interni delle macchine, cioè se due DTM a tempo polinomiale hanno la stessa lingua, il controesempio mostra che non possono risolvere S A T dato dalla funzione di diagonalizzazione è la stessa.
Potresti chiederti se questa è una grande restrizione? Perché il controesempio dovrebbe dipendere dalla struttura interna della macchina? Possiamo provare separazioni usando la diagonalizzazione che non può essere provata usando la semplice diagonalizzazione? La risposta è si. In effetti Kozen mostra nel suo articolo del 1978 "Indicizzazione delle classi sub-corsive" (3 anni dopo il risultato BGS) che se può essere separato da P allora c'è un argomento di diagonalizzazione generale per esso. E in pratica tali argomenti sono stati trovati. Ad esempio, i limiti inferiori dello spazio-tempo di Fortnow e van Melkebeek per SAT (2000) usano una tecnica chiamata diagonalizzazione indiretta che dà una diagonalizzazione non semplice.
essere quell'istanza. Questa è la visione d'insieme, se vuoi vedere i dettagli controlla la carta di Kozen.
Sono due buoni documenti per saperne di più sulla diagonalizzazione
Perché questo è un problema? Quando è emersa questa dimostrazione, la maggior parte delle tecniche e dei trucchi che conoscevamo per separare o comprimere le classi di complessità "relativizzate", in quanto funzionano rispetto a qualsiasi oracolo. Ad esempio, il teorema della gerarchia temporale (così come lo spazio e le sue versioni non deterministiche) "relativizzano": dimostrano separazioni per le classi per le quali questa separazione relativizza, e in effetti dimostrano il risultato più forte che la separazione ha rispetto a qualsiasi oracolo.