Trova quali vertici eliminare dal grafico per ottenere il componente più piccolo più piccolo

Dato un grafico $G = (V, E)$, trova $k$ vertici $\{v^*_1,\dots,v^*_k\}$, la cui rimozione comporterebbe un grafico con il componente più piccolo più piccolo.

Presumo in grande $n = |V|$ e grande $k$ il problema è difficile (NP-difficile), ma sono interessato a piccoli valori di $k$ ($k \in \{1, 2, 3, 4\}$).

Per $k = 1$, Penso che sia possibile trovare il miglior vertice $\{v^*_1\}$ da rimuovere eseguendo una prima ricerca di profondità del grafico (ad es. controllo dei punti di articolazione).

Per $k = 2$, sarebbe possibile trovare i migliori vertici $\{v^*_1, v^*_2\}$ eseguendo $n$ ricerche approfondite (ognuna di esse per il grafico $G_i = G / \{v_i\}$). Un approccio simile potrebbe essere applicato nel caso$k > 2$.

Mi chiedo se esiste una soluzione migliore di quella.

(Correlato: contare il numero minimo di vertici senza necessariamente enumerarli )

Il problema che stai descrivendo è noto come Connettività dell'ordine dei componenti nel campo delle misure di vulnerabilità dei grafici . La versione decisionale del problema è la seguente:

Connettività ordine componenti :

Input: grafico$G = (V,E)$, numeri interi $k$ e $\ell$

Domanda: esiste una serie di vertici$X \subseteq V$ di dimensioni al massimo $k$ tale che la dimensione del componente più grande di $G - X$ è al massimo $\ell$?

Il problema è ovviamente NP-completo poiché generalizza la copertura dei vertici; il caso in cui$\ell=1$è la copertura dei vertici. Quindi il problema non può essere risolto parametro trattabile quando parametrizzato da$\ell$ (salvo che $FPT = W[1]$). Anche il problema è noto$W[1]$-hard quando parametrizzato da $k$. Quindi, dobbiamo ricorrere ad algoritmi con un tempo di esecuzione esponenziale in$k+\ell$.

Domanda molto interessante. Per input$G,k,\ell$, un approccio a forza bruta sarebbe:

branching(G,k,l):
    Find a connected set of vertices D of G of size l+1
    if no such D exists:
            return True // no component of size > l
    for v in D:
        if branching(G-v,k-1,l):
            return True
    return False

L'algoritmo viene eseguito nel tempo $(\ell + 1)^k \cdot n^2$.

Osservare che qualsiasi istanza sì $G,k,\ell$ del problema ha la larghezza degli alberi, e in effetti la larghezza dei percorsi al massimo $k+\ell$. Questo può essere osservato vedendo che prendere un set di cancellazione$X$ di dimensioni al massimo $k$ produce un grafico $G-X$ dove ogni componente collegato ha dimensioni massime $\ell$. Quindi, una decomposizione del percorso valida è semplicemente quella di costruire un sacchetto per ciascuno dei componenti in$G-X$ e quindi aggiungere tutto $X$per ogni borsa. Ne consegue che qualsiasi istanza yes ha$|E(G)| \leq n(k+\ell)$.

Un problema correlato è stato studiato in passato con il nome Graph Integrity o Vertex Integrity per distinguere la versione di eliminazione dei vertici e la versione di eliminazione dei bordi:

Integrità del vertice :

Input: grafico$G = (V,E)$, numero intero $p$

Domanda: esiste una serie di vertici$X \subseteq V$ tale che $|X| + \max_{D \in cc(G-X)}|D| \leq p$?

Cioè, la somma del set di eliminazione e la dimensione del componente massimo devono essere ridotte al minimo. Questo problema è anche NP-difficile. Vedi, ad es.

• Clark, LH, Entringer, RC, Fellows, MR: complessità computazionale dell'integrità. J. Combin. Matematica. Combin. Comput 2, 179–191 (1987)
• Fellows, M., Stueckle, S .: L'ordine di immersione, i sottografi proibiti e la complessità dell'integrità della rete. J. Combin. Matematica. Combin. Comput 6, 23–32 (1989)