Come dimostrare che un problema NON è NP-Complete?

Esiste una tecnica generale per dimostrare che un problema NON è NP-Complete?

Ho avuto questa domanda sull'esame che mi ha chiesto di mostrare se qualche problema (vedi sotto) è NP-Complete. Non riuscivo a pensare a nessuna soluzione reale, e ho appena dimostrato che era in P. Ovviamente questa non è una vera risposta.

NP-Complete è definito come l'insieme di problemi che si trovano in NP e tutti i problemi NP possono essere ridotti ad esso. Quindi qualsiasi prova dovrebbe contraddire almeno una di queste due condizioni. Questo problema specifico è effettivamente in P (e quindi in NP). Quindi sono bloccato con la prova che c'è qualche problema in NP che non può essere ridotto a questo problema. Come diavolo può essere dimostrato ??

Ecco il problema specifico che mi è stato dato all'esame:

Lascia che $DNF$ sia l'insieme di stringhe in forma disgiuntiva normale . Sia $DNFSAT$ il linguaggio delle stringhe di $DNF$ che sono soddisfacenti con alcune assegnazioni di variabili. Mostra se $DNFSAT$ è in NP-Complete.

Sulla base dei commenti, sembra che tu voglia una risposta incondizionata.

Tuttavia, DNF-SAT è in L, assegnando variabili per soddisfare il primo disgiunto. Quindi se è NP-completo, quindi L = NP.

D'altra parte, se L = NP allora DNF-SAT è NP-completo sotto riduzioni di spazio logico, banalmente. (In effetti, se L = NP allora ogni problema in NP è NP completo con riduzioni dello spazio di log.)

Ne consegue che L = NP se DNF-SAT è NP completo con riduzioni dello spazio di log.

Quindi al momento non è possibile fare un'affermazione incondizionata che DNF-SAT non è NP-completo, come sembra voler fare. Non è necessario assumere P ≠ NP, ma la risposta deve essere subordinata a qualcosa, e L ≠ NP è l'ipotesi più debole possibile che garantisce il risultato desiderato.

Un problema $Q$ è NP completo se è sia NP- duro sia in NP. Ciò significa che devi confutare uno di questi due.

1. Partendo dal presupposto che P NP, si può dare un algoritmo di tempo polinomiale solving Q . Più raro , supponendo che l'isomorfismo del grafico non sia NP-difficile, è possibile dimostrare che Q è il tempo polifunzionale riducibile all'isomorfismo grafico.$\neq$$Q$$Q$
2. Dimostri che non è in NP. Questo è più difficile, e di solito devi usare altre ipotesi, come il non collasso della gerarchia polinomiale, che NP ≠ coNP o mostrare che è difficile per qualche altra classe superiore a NP, ad esempio mostrando che è NEXPTIME-difficile.$Q$$\neq$

Di solito, la risposta è dare un algoritmo temporale polinomiale, che sarebbe il più semplice per DNF-SAT, ma ciò si basa sull'ipotesi che P NP. Tuttavia, dimostrare che DNF-SAT non è NP completo senza alcuna ipotesi implica, come sottolinea Shaull, dimostrando che P ≠ NP, quindi è un po 'più complicato.$\neq$$\neq$

Secondo la gerarchia temporale non deterministica, potresti mostrare che il problema è -hard; come N P ≠ N E X P , è impossibile ridurre il problema in tempo polinomiale a qualsiasi problema in N P , quindi il problema non sarà in N P .$\mathsf {NEXP}$$\mathsf {NP} \ne \mathsf {NEXP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$

Tuttavia, se il tuo problema non è poi così difficile, potresti avere difficoltà a provare che non è in ; e se è in N P , sarete fatica a dimostrare che N P non è Karp-riducibile al problema senza assumendo che P ≠ N P .$\mathsf {NP}$ $\mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf P \ne \mathsf {NP}$

Come nel caso di tutte le prove, non esiste una formula per provare un'affermazione, devi fare alcune congetture intelligenti, prove ed errori e spero che sarai in grado di dimostrare ciò che stai cercando di provare. Per dimostrare che un problema NON è NP-completo, negare la definizione (Legge DeMorgran), vale a dire dimostrare il problema NON in NP o provare il problema NON NP-Hard.

Credo che ciò che il docente vuole davvero sia che tu possa distinguere i problemi che sono in P da quelli che sono NP-completi nel significato dato dal linguaggio puoi costruire un algoritmo efficiente? se sì, allora si sospetta di non essere NP-completo perché non pensiamo che le lingue in P siano NP-complete! altrimenti devi ancora dimostrare che il problema è NP-difficile!

si noti che esistono alcuni problemi che non conosciamo lo stato come l'isomorfismo grafico, il numero di factoring dato, ... pensiamo che questi problemi non siano NP-completi ma nessuno potrebbe dimostrarlo! in particolare abbiamo prove che l'isomorfismo grafico non è NP-completo! l'altro problema è la congiuntura del gioco unica che sospettiamo che il gioco unico sia NP-completo ma non esistono prove! quindi l'approccio che hai descritto non è utile!