Qual è una formula per il numero di stringhe senza ripetizioni?

Voglio contare il numero di stringhe su un alfabeto finito , che non contiene ripetizioni, e con ciò intendo per qualsiasi sottostringa di ,, non esiste una copia disgiunta di in . Per esempio, lascia . Quindi è una delle stringhe che voglio contare, poiché per la sottostringa non ci sono copie disgiunte. Tuttavia, contiene una tale ripetizione.$s$$A$$t$$s$$1< |t| < |s|$$t$$s$$A=\{a,b\}$$aaa$ $aa$$abab$

Se qualcuno ha già trovato una formula utile, collega. Altrimenti, farò riferimento a questo post in qualsiasi articolo che scrivo, se uso la risposta di qualcuno.

Ecco un altro esempio. Proviamo a costruire una stringa lunga sopra , che non contiene ripetizioni:$\{a,b\}$

aaa (non può essere a)
   aaab (a o b)
     aaabbb (non può essere b)
       aaabbba (non può essere b o a)
   aaaba (non può essere a o b)

Se costruissimo un albero, potremmo contare il numero di nodi, ma voglio una formula.

Modifica: Beh, non è scoraggiante come pensavo all'inizio se lo convertiamo in un problema di scelta dei bin. Un insieme di stringhe di lunghezza k con almeno una ripetizione è uguale all'insieme che è l'unione di tutte le permutazioni del prodotto cartesiano: dove è la ripetizione richiesta. Non so se sia utile, ma sembrava pro :) Comunque, lascia che sia | A | bin, scegli due qualsiasi (anche se lo stesso) per essere la ripetizione, quindi scegli più e moltiplica (i primi 4 sono già scelti, vedi?). Ora ho solo bisogno di trovare quella formula dalla matematica discreta.$A \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R$$R$$k-4$

^{Questo risponde alla domanda dopo il numero di parole senza ripetizione per dimensione, il che implica che esiste anche la quantità desiderata.}

Definizione: chiama ripetizioni se e solo se non contiene un fattore con e .$w \in \Sigma$ $xyx$$x \in \Sigma^{\geq 2}$$y \in \Sigma^*$

Reclamo: per un dato alfabeto finito con , non ci sono parole senza ripetizione di lunghezza maggiore di .$\Sigma$$|\Sigma| = k$$2k^2 + 1$

Idea di prova: secondo il principio del buco del piccione. Prendi una parola di lunghezza (o una parola più lunga e considera il suo prefisso di questa lunghezza), cioè . Supponiamo che sia privo di ripetizioni; ciò significa che per tutti (altrimenti avremmo avuto una ripetizione). Pertanto, ci sono molte coppie di simboli; questo contraddice . Quindi non è privo di ripetizioni. $w$$2k^2 + 2$$w = a_0a_0' \dots a_{k^2}a_{k^2}'$$w$$a_ia_i' \neq a_ja_j'$$i \neq j$$k^2 + 1$$|\Sigma^2| = k^2$$w$$\square$

Questa è una prova approssimativa: i fattori potrebbero creare una ripetizione ancora prima.$a_i'a_{i+1}$

Notazione:

• $\Sigma^{\geq k} = \bigcup_{i=k}^\infty \Sigma^i = \Sigma^* \setminus \bigcup_{i=0}^{k-1} \Sigma^i$
• "factor" = "subword" = "sottostringa"