Universi nella teoria dei tipi dipendenti

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Sto leggendo sulla teoria dei tipi dipendenti nel libro online sulla teoria dei tipi di omotopia .

Nella sezione 1.3 del capitolo Teoria dei tipi , introduce la nozione di gerarchia degli universi : , dove $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$

ogni universo è un elemento del prossimo universo . Inoltre, supponiamo che i nostri universi siano cumulativi, vale a dire che tutti gli elementi dell'universo sono anche elementi dell'universo . $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_{i+1}$ $i^{\mathrm{th}}$ $(i+1)^{\mathrm{th}}$

Tuttavia, quando guardo le regole di formazione per i vari tipi nell'appendice A, a prima vista, se un universo appare sopra la barra come premessa, lo stesso universo appare sotto. Ad esempio per la regola di formazione dei tipi di coprodotto:

\frac{Γ ⊢ A : U_{i} Γ ⊢ B : U i}{Γ ⊢ A + B : U_{i}} (+ - F O R M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

Quindi la mia domanda è: perché è necessaria una gerarchia? In quali circostanze è necessario passare da un universo a uno superiore nella gerarchia? Non è davvero ovvio per me come data una qualsiasi combinazione di , puoi finire con un tipo che non è in . Più in dettaglio: le regole di formazione nelle sezioni dell'appendice A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2 o menzionano nella premessa e nel giudizio, o semplicemente nel giudizio. $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

Il libro suggerisce anche che esiste un modo formale per assegnare gli universi:

Se c'è qualche dubbio sul fatto che un argomento sia corretto, il modo per verificarlo è provare ad assegnare i livelli in modo coerente a tutti gli universi che appaiono in esso.

Qual è il processo per assegnare i livelli in modo coerente?

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ porterebbe al paradosso di Russell . Evitare il paradosso di Russell è esplicitamente menzionato nel libro (pagina 24). Va anche in maggiori dettagli a pagina 54, 55 che utilizza "universi in stile Russell" anziché "universi in stile Tarski". Quindi, ad un livello molto alto, do per scontato che la teoria vuole evitare il paradosso. Sfortunatamente non ho lo sfondo per dare un senso a quello direttamente. Quello che sto in questa domanda è davvero solo grattare la superficie ottenendo alcuni esempi di cose in e non in per e potrebbe essere qualcos'altro che mi fa sentire per come funzionano le gerarchie. $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— huynhjl
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@huynhjl L'uso degli universi non è necessario per evitare i paradossi, ad esempio né la teoria degli insiemi di ZF né la NF di Quine, due basi matematiche alternative li usano. Gli universi sono un modo conveniente per evitare i paradossi (o almeno così speriamo) e allo stesso tempo avere la capacità di costruire tipi molto espressivi.

— Martin Berger,

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La domanda in quali circostanze dobbiamo passare da un universo a uno superiore nella gerarchia è buona. Avere la gerarchia e la capacità di arrampicarsi è importante. Devi saltare i livelli quando vuoi trattare un universo come un tipo o come parte di un tipo. Ad esempio, per definire le funzioni di tipo (non dipendente) devi mostrare che è in un universo. Ma questo non può essere o qualche universo più piccolo. Quindi cosa facciamo? Per affrontare il problema (senza usare l'insueto ), dobbiamo saltare su un universo. La regola che ci consente di fare questo salto è

UN \to U_{io}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$ -Intro

riportato nell'appendice A.2.3. Il vero punto della gerarchia degli universi è che possiamo farlo. Questo può essere visto come un'approssimazione sicura del fatto che gli universi si contengano.

\frac{⊢ Γ : c t X}{Γ ⊢ U_{io} : U_{io + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$

— Martin Berger
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$X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{io} Γ ⊢ Y : U_{io}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{io}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

$\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{io} Γ ⊢ Y : U_{j}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{max (io, j)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ X : U_{io} Γ ⊢ Y : U_{j} io \leq K j \leq K}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{K}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— Andrej Bauer
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