MST: complessità dell'algoritmo di Prim, perché no

Secondo CLRS, gli algoritmi di Prim sono implementati come di seguito:

$\mathtt{\text{MST-PRIM}}(G,w,r)$

• per ciascuno $u \in V[G]$ fare
  
  • $\mathtt{\text{key}}[u] \leftarrow \infty$
  • $\pi[u] \leftarrow \mathtt{\text{NIL}}$
• $\mathtt{\text{key}}[r] \leftarrow 0$
• $Q \leftarrow V[G]$
• mentre $Q \ne \emptyset$ fare // ... $O(V)$
  • $u$ $\leftarrow$ $\mathtt{\text{EXTRACT-MIN}}(u)$ // ... $O(\lg V)$
    
    • per ciascuno $v \in \mathtt{\text{adj}}[u]$ fare // ... $O(E)$
      
      • Se $v \in Q$ e $w(u,v) \gt \mathtt{\text{key}}[v]$
        • poi $\pi[v] \leftarrow u$
          • $\mathtt{\text{key}} \leftarrow w(u,v)$ // $\mathtt{\text{DECREASE-KEY}}$ ... $O(\lg V)$

Il libro dice che la complessità totale è $O(V \lg V + E \lg V) \approx O(E \lg V)$. Tuttavia, quello che ho capito è che il forciclo interno con l' DECREASE-KEYoperazione costerà$O(E \lg V)$e il whileloop esterno racchiude sia il loop EXTRACT-MINinterno che quello interno for, quindi la complessità totale dovrebbe essere$O(V (\lg V + E \lg V)) = O(V \lg V + EV \lg V) \approx O(EV \lg V)$.

Perché l'analisi della complessità non viene eseguita come tale? e cosa c'è di sbagliato nella mia formulazione?

La complessità è derivata come segue. La fase di inizializzazione costa$O(V)$. Il$while$ il ciclo viene eseguito $\left| V \right|$volte. Il$for$ loop nidificato all'interno di $while$ il ciclo viene eseguito $degree(u)$volte. Infine, il lemma dell'handshaking implica che ci sono$\Theta(E)$DECREASE-KEY implicito. Pertanto, la complessità è:$\Theta(V)* T_{EXTRACT-MIN} + \Theta(E) * T_{DECREASE-KEY}$.

La complessità effettiva dipende dalla struttura dei dati effettivamente utilizzata nell'algoritmo. Utilizzando un array,$T_{EXTRACT-MIN} = O(V), T_{DECREASE-KEY} = O(1)$, la complessità è $O(V^2)$ Nel peggiore dei casi.

Utilizzando un heap binario, $T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V), T_{DECREASE-KEY} = O(\log V)$, la complessità è $O(E \log V)$Nel peggiore dei casi. Ecco perché: dal momento che il grafico è collegato, quindi$\left| E \right| \ge \left| V \right| - 1$, e $E$ è al massimo $V^2$(nel peggiore dei casi, per un grafico denso). Probabilmente hai perso questo punto.

Usando un mucchio di Fibonacci, $T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V)$ ammortizzato, $T_{DECREASE-KEY} = O(1)$ ammortizzato, la complessità è $O(E + V \log V)$ Nel peggiore dei casi.

La tua idea sembra corretta. Prendiamo la complessità come $V(\lg v + E\lg v)$. Quindi nota che nel ciclo interno per, stiamo effettivamente attraversando tutti i vertici e non i bordi, quindi modifichiamo un po 'per $V(\lg v + V\lg v)$, che significa $V\lg v + V^2\lg v$. Ma per l'analisi del caso peggiore (grafici densi),$V^2$ è approssimativamente uguale al numero di spigoli, $E$, dando $V\lg v + E\lg v = (V+E)\lg v$ ma da allora $V \ll E$, quindi $E\lg v$.