I puzzle "zero-one" NP-complete sono completi?

Sono interessato a una leggera variante della piastrellatura, il "puzzle": ogni bordo di una tessera (quadrata) è etichettato con un simbolo da e due tessere possono essere posizionate adiacenti gli uni agli altri se il simbolo sul bordo di una piastrella è k e il simbolo sul bordo di una piastrella è ˉ k , per alcuni k ∈ { 1 … n } . Quindi, dato un insieme di m 2 tessere, possono essere posizionati in un m × $\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$quadrato (ruotando ma non capovolgendo le piastrelle) con tutti i bordi che corrispondono correttamente? (C'è anche una variante di questo problema in cui sono forniti quattro bordi da 'inquadratura' e i pezzi devono adattarsi correttamente a quel telaio).$1\times m$

So che questo problema è NP-completo per sufficientemente grande , ma i limiti che ho visto su n sembrano essere abbastanza grandi; Sono interessato al problema per i valori piccoli di n e in particolare per n = 1 , il caso 'zero-uno' (in cui ogni bordo è etichettato come 0 o 1 e i bordi con uno 0 devono essere abbinati ai bordi con un $n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$$1$). Qui ci sono (con simmetria rotazionale) solo sei tipi di tessere (la tessera di tutti gli zero, la tessera di tutti gli uni, la tessera con tre zero e una, la tessera con tre e uno zero e due tessere distinte con due zero e due, '0011' e '0101'), quindi un'istanza problematica è solo una specifica di un insieme di cinque numeri T 0000 , T 0001 , T 0011 , T 0101 , T 0111 e T 1111 (che rappresentano il conteggio di ogni tipo di piastrella) con T 0000 + T 0001 + T 0011 + $m$$T_{0000}$$T_{0001}$$T_{0011}$$T_{0101}$$T_{0111}$$T_{1111}$ . Il problema è ovviamente in NP (conmdato in unario) poiché una soluzione può essere semplicemente esposta e poi verificata in tempo polinomiale (inm), ma è nota per essere NP-completa, oppure esiste un algoritmo di programmazione dinamica che può essere applicato qui? Che dire del caso "incorniciato" in cui la specifica del problema include anche i quattro bordi del quadrato da abbinare? (Ovviamente se il caso senza cornice è NP-completo, quasi sicuramente lo è anche il caso con cornice)$T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$$m$$m$

Dato che hai menzionato che sei interessato a risolvere questo problema per piccoli valori di , ti suggerirei di provare a implementarlo in un solutore SAT o come un programma lineare intero (ILP). Uno dei due sarà in grado di codificare i vincoli, ma in un modo leggermente diverso:$n$

• Per SAT, esiste una codifica molto chiara della scelta di quale riquadro va in ciascun quadrato e una codifica leggermente meno chiara del vincolo relativo al numero di ciascun tipo di riquadro (usando l'aritmetica di bit).

• Per ILP, esiste una codifica molto chiara del vincolo relativo al numero di ciascun tipo di riquadro disponibile e una codifica leggermente meno chiara dei vincoli su cui i riquadri possono essere adiacenti l'uno all'altro (ma è comunque espressibile, poiché è possibile esprimere formule booleane arbitrarie in ILP).

Mi aspetterei che per piccole o medie dimensioni , questo approccio potrebbe funzionare in modo efficiente.$n$