Teoremi di ponte per la teoria dei gruppi e i linguaggi formali

Esiste un modo naturale o notevole per mettere in relazione o collegare gruppi matematici e linguaggi formali CS o qualche altro concetto CS centrale, ad esempio le macchine di Turing?

Sto cercando riferimenti / applicazioni. Tuttavia, sono consapevole del legame tra i semigruppi e le lingue CS (vale a dire tramite automi finiti ). (Questa letteratura sui semiautomi considera mai "automi di gruppo"?)

Ho visto molti anni fa un documento che potrebbe avvicinarsi, che converte le tabelle di transizione TM in un'operazione binaria, possibilmente a volte un gruppo in alcuni casi, concepibilmente basato su una sorta di simmetria nella tabella di stato TM. Non ha esplorato questo in particolare, ma non lo ha escluso.

Inoltre, in particolare, per quanto riguarda il vasto corpus di ricerche matematiche sulla classificazione dei gruppi finiti , ha o potrebbe avere qualche significato o interpretazione nel TCS? Qual è la visione "lente algoritmica" di questo massiccio edificio di ricerca matematica? Che cosa "dice" su una possibile struttura nascosta nel calcolo?

Questa domanda è in parte ispirata da alcune altre note, ad esempio:

• Uso di strutture algebriche in TCS

• RJ Lipton sul teorema di Gromov

Vorrei prima rispondere alla tua domanda: la letteratura sui semiautomi guarda mai agli "automi di gruppo"? . La risposta è si. Nel suo libro (Automi, lingue e macchine. Vol. B, Academic Press), S. Eilenberg ha dato una caratterizzazione delle lingue regolari riconosciute da gruppi finiti commutativi e $p$ finiti. Risultati simili sono noti per gruppi nilpotenti finiti, gruppi solubili e gruppi supersolubili.

Anche i gruppi finiti svolgono un ruolo importante nel problema di trovare un set completo di identità per le espressioni regolari. Un insieme completo infinito fu proposto da John Conway e questa congettura fu infine dimostrata da D. Krob. Esiste un numero finito di identità "base", oltre a un'identità per ciascun gruppo semplice finito . Vedi la mia risposta a questa domanda per riferimenti.

Nella direzione opposta, la teoria degli automi finiti porta a una prova elementare dei risultati di base sulla teoria dei gruppi combinatori, come la formula di Schreier. Basato sul documento seminale di Stallings Topology of Finite Graphs .

Anche nella direzione opposta, i gruppi automatici sono definiti in termini di automi finiti.

Anche i gruppi profiniti svolgono un ruolo importante nella teoria degli automi. Un esempio è la caratterizzazione delle lingue regolari riconosciute da automi reversibili di transizione con possibilmente diversi stati iniziali e finali.

Per una connessione molto piacevole tra linguaggi, gruppi e logica senza contesto, vedi l'articolo di David E. Muller e Paul E. Schupp, Linguaggi, gruppi senza contesto, teoria dei fini, logica del secondo ordine, problemi di piastrellatura, cellulare automi e sistemi di addizione vettoriale .

$^1$$S_5$$A_5$ di Miles e Viola (2012).

Per quanto riguarda la classificazione dei gruppi semplici finiti, per quanto ricordo, è implicitamente usato in alcuni algoritmi per l'isomorfismo di gruppo, un problema legato all'isomorfismo grafico.

$g_1, ..., g_m$$a_1 = b_1, ..., a_n = b_n$$x, y \in \{g_1, ..., g_m\}^*$$\{g_1, ..., g_m\}$$x = y$

Ci sono molti risultati profondi che danno le condizioni per classi di gruppi con problemi risolvibili di parole. È anche interessante studiare la complessità di decidere i problemi di parole (per classi di gruppi che hanno un problema di parole decidibili), vedi ad esempio qui .

Con Google ho trovato il documento Monoidi profiniti relativamente gratuiti: un'introduzione ed esempi, in Semigruppi, Lingue e gruppi formali di Jorge Almeida (traduzione inglese in Journal of Mathematical Sciences , 144 (2): 3881–3903, 2007) su questo argomento.