Riduzione diretta da

Sappiamo che è in N L di Teorema del teorema di Immerman – Szelepcsényi e poiché s t - c o n n e c t i v i t y è N L - h a r d quindi s t - n $st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$ è molto-un log-spazio riducibile a s t - c o n n e c t i v i t y . Ma c'è una riduzione diretta / combinatoria che non passa attraverso il grafico di configurazione delle macchine Turing in N L ?$st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (alias):$stPATH$

Dato il grafico diretto e i vertici s e t ,$G$$s$$t$

Esiste un percorso diretto dal vertice al vertice t ?$s$$t$

chiarimenti:

Puoi presumere che un grafico sia dato dalla sua matrice di adiacenza (tuttavia ciò non è essenziale poiché le rappresentazioni standard dei grafici sono convertibili in spazi di log).

È possibile decomprimere la prova di ness s t - c o n n e c t i v i t y e spostarla nella prova in modo che la prova non usa quel teorema come un lemma . Tuttavia, questa è sostanzialmente la stessa costruzione. Quello che sto cercando non è questo, voglio una riduzione concettualmente diretta. Vorrei fare un'analogia con il caso N P. Possiamo ridurre varie N P - c o m p $\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NP}$ problemi tra loro utilizzando il fatto che sono in N P quindi ridurre al S A T e S A T riduce l'altro problema. E possiamo decomprimere e combinare queste due riduzioni per ottenere una riduzione diretta. Tuttavia è spesso possibile dare una riduzione concettualmente molto più semplice che non passa attraverso questo passaggio intermedio (è possibile rimuoverlo menzionandolo, ma è ancora concettualmente lì). Ad esempio, per ridurre H a m P a t h o V e r t e x C o $\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$$HamPath$ o 3 - C o L o r i n g di S A T non diciamo H un m P a t h è N P e quindi riduce a S A poiché S A T è N P - h una r d . Possiamo dare una semplice formula intuitiva che è soddisfacente se il grafico ha un percorso hamiltoniano. Un altro esempio, abbiamo riduzioni da altri problemi in$VertexCover$$3\text{-}Coloring$$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$ a s t - C o n n e c t i v i t y che non si basano su N L - c o m p l e t e ness s t - C o n n e c t i v i t y , ad es. C y c l e , S t r o n $\mathsf{NL}$$st\text{-}Connectivity$$\mathsf{NL\text{-}complete}$$st\text{-}Connectivity$$Cycle$ , ecc, che comportano la modifica sul grafico di ingresso (e non si riferiscono a qualsiasi macchina di Turing che li sta risolvendo).$StronglyConnected$

Non vedo ancora alcun motivo per cui questo non possa essere fatto per questo. Sto cercando una riduzione di questo tipo.

È possibile che ciò non sia possibile e che qualsiasi riduzione passerebbe concettualmente attraverso il risultato ness. Tuttavia non vedo perché questo dovrebbe essere il caso, perché la situazione sarebbe diversa dal caso N P. Ovviamente per dare una risposta negativa alla mia domanda dovremmo essere più formali su quando concede una prova concettualmente$\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$includere un'altra prova (che è la domanda di teoria della prova che AFAIK non risolve in modo soddisfacente). Tuttavia nota che per una risposta positiva non è necessaria una definizione così formale e spero che sia così. (Penserò a come formalizzare ciò che sto chiedendo in modo fedele quando trovo più tempo libero. Fondamentalmente voglio una riduzione che funzionerebbe anche se non sapessimo che il problema è completo per )$\mathsf{NL}$

Utilizzando la prova di Immerman-Szelepcsenyi teorema va bene, usando ness s t P A T H e grafico di configurazione di un N L macchina è quello che voglio evitare.$\mathsf{NL\text{-}complete}$$stPATH$$\mathsf{NL}$

È possibile, se disordinato, convertire la dimostrazione del teorema di Immerman-Szelepcsényi nella riduzione desiderata. Non è assolutamente necessario utilizzare la completezza NL della st-connectivity.

Data un'istanza , costruiamo un nuovo grafico G ′ = ( V ′ , E ′ ) , s ′ , t ′ . I "vertici maggiori" di V ' registrano le seguenti informazioni: la distanza corrente d da s , il numero di vertici di distanza al massimo d - 1 , il numero di vertici di distanza d - $G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$ finora contata, l'attuale vertice indoviniamo se ha distanza al massimo , il numero di vertici di distanza al massimo $d-1$$d$ conteggiato finora, l'attuale vertice stiamo determinando se ha distanza al massimo . I vertici minori gestiscono la parte in cui indoviniamo un percorso di lunghezza al massimo d - 1 verso un vertice che immaginiamo essere a distanza al massimo d - 1 . I bordi che comportano la visualizzazione del vertice t sono raggiungibili da $d$$d-1$$d-1$$t$$s$vengono lasciati cadere. Per ogni vertice che stiamo testando alla distanza corrente, passiamo al vertice successivo solo se abbiamo tenuto conto di tutti i vertici di distanza minore. Quando ci spostiamo dalla distanza alla distanza d + 1 , copiamo le informazioni richieste. Il vertice iniziale s ' spiega il fatto che s è l'unico vertice della distanza zero. Il vertice finale t ′ è indicato da tutti i vertici che rappresentano il fatto che il processo ha terminato fino alla (e inclusa) distanza n - 1 , dove n = | V | .$d$$d+1$$s'$$s$$t'$$n-1$$n=|V|$

As you can see, it will be quite messy to write everything in full and correctly, but definitely possible. No overt use of NL-completeness was made, in that we never use the configuration graph of any NL machine. That's not needed, since we have something better than the configuration graph - the input instance itself.