Riduzione del poli-tempo da ILP a SAT?

Quindi, come è noto, il problema decisionale 0-1 dell'ILP è NP-completo. Mostrare che è in NP è facile e la riduzione originale era da SAT; da allora, molti altri problemi NP-Complete hanno dimostrato di avere formulazioni ILP (che funzionano come riduzioni di tali problemi a ILP), perché ILP è utilmente generale.

Riduzioni da ILP sembrano molto più difficile da fare sia io o rintracciare.

Quindi, la mia domanda è: qualcuno conosce una riduzione dei tempi multipli da ILP a SAT, cioè dimostrando come risolvere qualsiasi problema di decisione ILP 0-1 usando SAT?

0-1 ILP formulato come:

Esiste un vettore , soggetto a vincoli:$\mathbf{x}$

$$\left.\begin{array}{rrrrr|rr} a_{11} x_1 & + &a_{12} x_2 & ... + & a_{1n} x_n\le b_1 \\ a_{21} x_1 & + &a_{22} x_2 & ... + & a_{2n} x_n\le b_2 \\ ...\\ a_{m1} x_1 & + &a_{m2} x_2 & ... + & a_{mn} x_n\le b_m \\ \end{array}\right.$$

Dominio di x:$\forall_{x_j \in \mathbf{x}} x_j\in \{0,1\}$

Riduzione a k-sat:

In primo luogo ridurre al circuito sat:

Inizia con la prima riga, crea una variabile booleana per rappresentare ciascun bit in e una variabile booleana per . Quindi rendere variabile per . Crea un circuito di aggiunta (scegli il tuo preferito) aggiungendo la fila.$a_{1j}$$x_j$$b_1$

Quindi crea un circuito di confronto, dichiarando la somma inferiore a .$b_1$

Converti questi due circuiti in CNF, compilando le variabili e poiché vengono fornite.$a_{1j}$$b_1$

Ripetere l'operazione per tutte le righe, ma riutilizzare le variabili tra di esse.$x_j$

Il CNF finale conterrà tutti i vincoli.

È una specie di risposta negativa alla domanda già risposta e accettata, ma voglio notare che esiste un modo davvero più semplice.

Considera di avere una delle disuguaglianze come questa:

$5*x_1 + 2*x_2 + 3*x_3 \leq 6$

$(1, 1, 1)$$(1, 1, 0)$$(1, 0, 1)$

$(1, 1, 1)$$\neg(x_1 \land x_2 \land x_3)$$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor \neg x_3)$

$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor \neg x_3)$$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor x_3)$$(\neg x_1 \lor x_2 \lor \neg x_3)$

Attraversando tutte le disuguaglianze e raccogliendo le clausole, alla fine otterrai cnf. Spesso questo cnf sarà MODO SEMPLICE, quindi uno, che risulta dalla risposta accettata. Il costo è però una pre-elaborazione più difficile.