Software per testare l'omomorfismo grafico

Ho grafici e con con che superano i controlli di integrità come come lemma senza omomorfismo. Esistono strumenti gratuiti e facili da usare per testare l'omomorfismo grafico da a ?$G_k$$H_k$$|\mathcal{V}(G_k)|=|\mathcal{V}(H_k)|^{2k}=n^{2k}$$k\in\Bbb N$$G$$H$

Il modo migliore (in termini di pigrizia) è usare lo strumento Sage liberamente disponibile che ha il miglior supporto per la teoria dei grafi.

Esempio

sage: G = graphs.PetersenGraph()
sage: G.has_homomorphism_to(graphs.CycleGraph(5))
False
sage: G.has_homomorphism_to(graphs.CompleteGraph(5))
{0: 0, 1: 1, 2: 0, 3: 1, 4: 2, 5: 1, 6: 0, 7: 2, 8: 2, 9: 1}

Un approccio sarebbe quello di utilizzare un solutore SAT.

Introdurre una variabile booleana per ogni vertice da e ciascun vertice da . L'intuizione è che sarà vero se l'omomorfismo mappa . (Naturalmente, se si dispone di un insieme candidato minore di vertici che potrebbe mappare - forse limitato giù con considerazioni di laurea o di altri criteri locali - allora si può ridurre il numero di variabili booleane di conseguenza Questo tipo di pre-elaborazione potrebbe migliorare la. efficienza di questo approccio in modo significativo.)$x_{t,v}$$t$$G$$v$$H$$x_{t,v}$$t \mapsto v$$t$

Successivamente, aggiungi due tipi di clausole / vincoli:

• Aggiungi alcune clausole per richiedere che questa mappatura formi un omomorfismo grafico. In particolare, per ciascun bordo , aggiungere il vincolo$(t,u) \in E(G)$

  $$\bigvee_{(v,w) \in E(H)} (x_{t,v} \land x_{u,w}).$$

  (Puoi convertirlo in 3CNF usando la trasformazione standard di Tseitin.)

• Aggiungere alcune clausole per richiedere che ogni vertice da associa a esattamente un vertice da . Esistono numerosi metodi standard per codificare questo vincolo. Un modo semplice è, per ogni vertice , aggiungere la clausola$t$$G$$v$$H$$t \in V(G)$

  $$\bigvee_{v \in V(H)} x_{t,v}$$

  e la clausola

  $$\bigwedge_{v,w \in V(H)} (\neg x_{t,v} \lor \neg x_{t,w}).$$

Quindi, è possibile utilizzare qualsiasi solutore SAT standard. Non so quanto funzionerà in pratica, ma potresti provarlo e vedere come funziona.

Nella letteratura di ricerca, il problema dell'omomorfismo grafico è stato ampiamente studiato per grafici con proprietà speciali (ad esempio, dove è una cricca, dove ha limitato la larghezza degli alberi e così via). Se conosci qualcosa di speciale sulla struttura dei tuoi grafici, potrebbe essere possibile trovare algoritmi migliori per il tuo problema. Per i grafici generali, questo problema è noto per essere NP-difficile.$H$$H$