Perché usare

È noto che le logiche temporali LTL, CTL, CTL * possono essere tradotte / incorporate in $\mu$-calcolo. In altre parole, il (modale)$\mu$-calculus sottrae queste logiche, (cioè è più espressivo.)

Potresti spiegare / indicarmi documenti / libri che trattano questo argomento. In particolare, ci sono proprietà concrete di equità, vivacità, ecc. Non espresse nelle logiche temporali ma nella$\mu$-calcolo?

Per quanto riguarda a $\mu$-calcolo formula non esprimibile in CTL *, vedi questo post .

Per quanto riguarda i testi sull'argomento, è probabile che tu vada più avanti leggendo articoli, poiché questi argomenti non sono trattati in molti libri. Tuttavia, il Manuale di Modal Logic potrebbe essere un buon inizio.

Per quanto riguarda i documenti, prova:

Potenza espressiva della logica temporale

Questa tesi di dottorato

Verifica del modello di Emerson e calcolo Mu

E ce ne sono molti altri. Termini come Google come "potere espressivo", "mu calculus" e "logiche temporali".

Il $\mu$-calculus è strettamente più espressivo di LTL, CTL e CTL *. Questa è una conseguenza di alcuni risultati diversi.

Il primo passo è mostrare che il $\mu$-calculus è espressivo quanto la logica temporale. L'idea principale per la codifica di queste logiche deriva dal riconoscimento delle proprietà temporali come punti fissi. A un livello molto informale, i punti minimi fissi consentono di esprimere proprietà di natura finita e i punti fissi maggiori si applicano alle proprietà infinite. Ad esempio, alla fine$\varphi$ in LTL definisce che c'è un istante nel futuro finito in cui $\varphi$è vero, mentre sempre$\varphi$ afferma che $\varphi$è vero per un numero infinito di passi temporali futuri. In termini di punti fissi la proprietà eventualmente sarebbe espressa usando un punto minimo fisso e la proprietà always usando un punto fisso massimo. A seguito di tale intuizione, gli operatori temporali possono essere codificati come operatori a virgola fissa.

Il prossimo passo è mostrare che il $\mu$-calculus è più espressivo. L'idea principale è la profondità di alternanza. I punti fissi si alternano se un punto meno fisso influenza il punto fisso più grande e viceversa. La profondità di alternanza di a$\mu$-calculus formula conta il numero di alternanze che si verificano in esso. Gli operatori in CTL possono essere codificati da$\mu$-calculus formule con profondità alternata $1$. Gli operatori in CTL * e LTL possono essere codificati da$\mu$formule di calcolo con profondità di alternanza al massimo $2$. Tuttavia, la gerarchia di alternanza di$\mu$-calculus è rigoroso, il che significa che aumentare la profondità di alternanza in una formula consente di esprimere rigorosamente più proprietà. Questo è il motivo per cui la gente dice il$\mu$-calculus è più espressivo di queste logiche temporali.

Alcuni riferimenti:

1. Gli argomenti iniziali che il $\mu$-calculus sottrae diverse logiche appare in Modalità per la verifica del modello: Branching Time Logic Strikes Back , Emerson e Lei, 1985.
2. La traduzione di CTL in $\mu$-calculus è semplice. Lo puoi trovare nel libro su Model Checking di Clarke, Grumberg e Peled. Puoi trovarlo anche in Model Checking e in$mu$-calcolo di Emerson o nella tesi di Ken McMillan.
3. La traduzione di CTL * in $\mu$-calculus è coinvolto. Piuttosto che la traduzione originale e indiretta, suggerisco l'articolo di Mads Dam su Translating CTL * nel mu-calculus modale .
4. Esiste una traduzione più semplice di LTL in quello che viene chiamato tempo lineare $\mu$-calcolo, in cui le modalità operano su tracce e non su stati. Vedi Assiomatizzante Linear Time Mu-calculus di Roope Kaivola.
5. La gerarchia di alternanza è studiata in La gerarchia modale di alternanza mu-calculus è rigorosa da Julian Bradfield e nel teorema di una gerarchia per il$\mu$-calcolo di Giacomo Lenzi.

Tutto ciò riguarda l'espressività, non l'utilità. In pratica, le persone di solito non specificano le proprietà come$\mu$-calculus espressioni perché potrebbero trovare più facile lavorare con le logiche temporali. I linguaggi delle specifiche industriali differiscono sia dalla logica temporale che da$\mu$-calcolo nella loro sintassi e nel loro potere espressivo.

È ben noto che $\mu$-calculi può esprimere proprietà che "contano modulo una costante", ad esempio " tutti i passaggi pari visitano a$A$-state "che viene catturato da qualcosa di simile$\mu X.A \land\Box\Box X$. Tali proprietà non possono essere dichiarate con le modalità TL standard Until e Next poiché queste modalità sono definibili al 1 ° ordine. Vedi l'articolo del 1983 di DC Kozen .