Complessità del problema dell'adozione del gattino

Questo è emerso mentre stavo cercando di rispondere a questa domanda sulla minimizzazione della lunghezza dei cavi . Stavo per chiamare questo il problema del "matrimonio poligamo", ma Internet, quindi i gattini. Sìì!

Supponiamo di avere gattini che hanno bisogno di essere adottato da N persone, M > N . Per ogni gattino, io e ogni persona j c'è un costo c i j . Vorremmo ridurre al minimo il costo totale per l'adozione di tutti i cuccioli. V'è anche un insieme di vincoli: ogni persona j è in grado di adottare non più di u j gattini.$M$$N$$M > N$$i$$j$$c_{ij}$$j$$u_j$

Senza i vincoli il problema è semplice; ogni gattino va con la persona j per cui c i j è minimo. Con i vincoli esiste un algoritmo efficiente per questo problema o è NP-difficile?$i$$j$$c_{ij}$

Questo è il problema del flusso massimo di costo minimo.

Considera un grafico , dove A è l'insieme di gattini, B è l'insieme di persone.$G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

Sia la capacità dei bordi e $C:E\to \mathbb{R}^+$ il costo di un bordo. Ci assicuriamo che$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. C'è un bordo tra , dove a i ∈ A e b j ∈ B , e C ( a i , b j ) = 1 , c ( a i , b j ) = c i , j .$a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
2. C'è un bordo tra e a i ∈ A , e C ( s , a i ) = 1 , c ( $s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$ .$c(s,a_i)=0$
3. C'è un bordo tra e t , e C ( b j , t ) = u j , c ( b j , t ) = 0 .$b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

Se il flusso massimo è , allora sappiamo che esiste una soluzione. È possibile creare una soluzione di costo minimo dal flusso massimo di costo minimo.$M$

Questo è il problema di corrispondenza perfetta del peso minimo che è polinomiale. Si consideri il grafo bipartito completo , in cui L contiene un nodo l i per ciascuna gattino i , R è costituito da u j copie del nodo r j per ogni persona j , e bordi e i j ∈ E tra l i e ciascuna copia di r j , con pesi c i j .$(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$

Sappiamo che , altrimenti non tutti i gattini possono essere assegnati a persone.$|L| \leq |R|$

Poiché la corrispondenza perfetta deve corrispondere a tutti i nodi, è necessario aggiungere nodi fittizi a (per ottenere | L | = | R | ) e collegarli con bordi a peso zero a tutti i nodi in $L$$|L| = |R|$$R$ .

Forse di interesse è l'osservazione che si può ridurre la partizione a una variante di questo problema. Dato è un'istanza di Partizione con elementi con q anche da cui dobbiamo scegliere un sottoinsieme S ⊆ { 1 , … , q } con | S | = q / 2 tale che ∑ i ∈ S x i = ∑ i ∉ S x i = $\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$. (Nota che il requisito di scegliere esattamente metà degli elementi non è la solita forma ma questa forma è ancora NP-difficile.) Lascia che ogni gattino sia un elemento del set; lascia che ci siano due persone; lasciare che i pesi siano e c i 2 = - x i ; lasciare u 1 = u 2 = q / 2 . Quindi questa istanza di Kitten Adoption ha un massimo di 0 se l'istanza di Partition ha una soluzione.$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

$C$$Cq$

Non sono sicuro di cosa si possa dire della complessità del problema originale, ma dato che il visto spesso "uno di minimizzare / massimizzare è NP-difficile, l'altro è in configurazione P" per problemi di ottimizzazione combinatoria, inizierei a cercare un algoritmo efficiente.