Ci sono problemi NP, non in P e non NP Complete?

Ci sono problemi noti in (e non in ) che non sono completi? La mia comprensione è che non ci sono attualmente problemi noti in cui questo è il caso, ma non è stato escluso come una possibilità. P N $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Se c'è un problema che è (e non ) ma non , questo sarebbe il risultato di un isomorfismo esistente tra le istanze di quel problema e il ? In questo caso, come potremmo sapere che il non è "più difficile" di quello che attualmente identifichiamo come l'insieme ?P N P - c o m p l e t e N P - c o m p l e t e N P N P - c o m p l e t $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Ci sono problemi noti in NP (e non in P) che non sono NP Complete? La mia comprensione è che non ci sono attualmente problemi noti in cui questo è il caso, ma non è stato escluso come una possibilità.

No, questo è sconosciuto (ad eccezione dei linguaggi banali e , questi due non sono completi a causa della definizione di riduzioni multiple, in genere questi due vengono ignorati quando si considerano riduzioni multiple). L'esistenza di un che non è completo per molte riduzioni del tempo polinomiale implicherebbe che non è noto (sebbene ampiamente creduto) . Se le due classi sono diverse, allora sappiamo che ci sono problemi in che non sono completi per questo, prendi qualsiasi problema in .Σ ∗ N P N P P ≠ N P N P $\emptyset$$\Sigma^*$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Se c'è un problema che è NP (e non P) ma non NP Complete, questo sarebbe il risultato di un isomorfismo esistente tra le istanze di quel problema e l'insieme NP Complete?

Se le due classi di complessità sono diverse dal teorema di Ladner, ci sono problemi che sono , cioè tra e .P N P - c o m p l e t $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

In questo caso, come potremmo sapere che il problema NP non è "più difficile" di quello che attualmente identifichiamo come set NP completo?

Sono ancora tempo polinomiale riducibile ai , quindi non possono essere più difficili dei di .N P - c o m p l e t $\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Come affermato da @Kaveh, questa domanda è interessante solo se assumiamo ; il resto della mia risposta lo assume come un presupposto e fornisce principalmente collegamenti per inumidire ulteriormente l'appetito. Sotto tale presupposto, dal teorema di Ladner sappiamo che ci sono problemi che non sono né in né in ; questi problemi sono chiamati intermedi o . È interessante notare che il teorema di Ladner può essere generalizzato a molte altre classi di complessità per produrre problemi intermedi simili. Inoltre, il teorema implica anche che esiste una gerarchia infinita di problemi intermedi che non sono poli-tempo riducibili l'uno all'altro in .P N P C N P N P I N P $P \neq NP$$P$$NPC$$NP$$NPI$$NPI$

Sfortunatamente, anche con il presupposto , è molto difficile trovare problemi naturali che sarebbero provabili (ovviamente hai i problemi artificiali derivanti dalla dimostrazione del teorema di Ladner). Pertanto, anche ipotizzando in questo momento, possiamo solo credere che alcuni problemi siano ma non lo dimostrano. Veniamo a tali convinzioni quando abbiamo prove ragionevoli di credere che un problema non sia in e / o in ; o proprio quando è stato studiato a lungo ed evitato di inserirsi in nessuna delle due classi. C'è un elenco abbastanza completo di tali problemi in questa rispostaN P I P ≠ N P N P I N P N P C $P \neq NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$$NP$$NPC$$P$. Include i preferiti di tutti i tempi come factoring, log discreto e isomorfismo grafico.

È interessante notare che alcuni di questi problemi (in particolare: factoring e log discreti) hanno soluzioni temporali polinomiali su computer quantistici (cioè sono in ). Alcuni altri problemi (come l'isomorfismo grafico) non sono noti per essere in e sono in corso ricerche per risolvere la domanda. D'altra parte, si sospetta che , quindi le persone non credano che avremo un algoritmo quantico efficiente per SAT (anche se possiamo ottenere una velocità quadratica); è una domanda interessante preoccuparsi di quale tipo di struttura i problemi necessitano per essere in .$BQP$$BQP$N P I B Q P$NPC \not\subseteq BQP$$NPI$$BQP$

No NP problemi -Complete sono noti per essere in P . Se esiste un algoritmo del tempo polinomiale per qualsiasi problema completo NP , allora P = NP , poiché qualsiasi problema in NP ha una riduzione del tempo polinomiale per ogni problema completo NP . (È così che viene definito " NP- completo".) E ovviamente, se ogni problema NP completo si trova al di fuori di P , ciò significa che P ≠ NP . Non siamo davvero sicuri del perché sia ​​difficile mostrarlo in un modo o nell'altro; se conoscessimo la risposta a quella domanda, probabilmente sapremmo molto di più su P eNP . Abbiamo alcune tecniche di prova che sappiamo che non funzionano (relativizzazione e prove naturali, per esempio), ma non abbiamo una spiegazione di principio sul perché questo problema è difficile.

Se ci sono problemi in NP che non sono in P , allora in realtà esiste una gerarchia infinita di problemi in NP tra quelli in P e quelli che sono NP completi: questo è un risultato chiamato teorema di Ladner .

Spero che sia di aiuto!

Ci sono alcuni problemi che sono NP, ma nessuno sa che sono NP-Complete o , come l' isomorfismo grafico ¹ . Ma come so che non esiste una speciale classe di complessità per tali problemi, può darsi che mi sbagli.$P$

Può essere , ad esempio prima dell'algoritmo AKS nessuno sa che il test di primalità è o NPC.$P$$P$

Inoltre ci sono alcuni problemi che sono NPC ma non in senso stretto o debolmente NP-Complete , come il problema della 2-Partizione , significa che se i numeri di input sono in ordine polinomiale di dimensioni di input, questi problemi possono essere risolti in (o c'è uno pseudo algoritmo temporale polinomiale per loro).$P$

¹ Problema simile: l' isomorfismo del sotto grafico è NP-Complete in senso stretto.