Algoritmo

Problema della cricca è un noto problema Completa cui la dimensione della cricca richiesto è parte dell'input. Tuttavia, il problema di k-clique ha un banale algoritmo temporale polinomiale ( O ( n k ) quando k è costante). Sono interessato ai limiti superiori più noti quando k è costante.$NP$$O(n^k)$$k$

Esiste un algoritmo con tempo di esecuzione ? È anche accettabile un algoritmo o ( n k ) -time. Inoltre, esiste qualche conseguenza teorica della complessità per l'esistenza di tali algoritmi?$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

Una cricca 3 può essere trovata in un grafico -vertex G nel tempo O ( n ω ) , dove ω < 2.376 è l'esponente della moltiplicazione della matrice e nello spazio O ( n 2 ) per un risultato di Itai e Rodeh [1] . Fondamentalmente, mostrano che G contiene un triangolo se e solo se ( A ( G ) ) 3 ha una voce diversa da zero sulla sua diagonale principale. Perché un triangolo è anche un ciclo C $n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$, è possibile utilizzare i metodi di ricerca del ciclo generale per rilevare i triangoli. Alon, Yuster e Zwick mostrano come i triangoli possono essere rilevati su un grafico -edge in O ( m 2 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( m 1,41 ) tempo [6].$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

Per molto tempo, il risultato di Nesetril e Poljak [2] è stato il più noto; hanno mostrato il numero di cricche di dimensione possono essere trovate nello spazio O ( n ω k ) e O ( n 2 k ) . Infine, Eisenbrand e Grandoni [3] sono migliorati sul risultato di Nesetril e Poljak per un ( 3 k + 1 ) -clique e un ( 3 k + 2 ) -clique per piccoli valori di k . In particolare, hanno fornito algoritmi per trovare cricche di dimensione 4, 5 e 7 nel tempo $3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$ , O ( n. 4.220 ) e O ( n. 5.714 ) , rispettivamente.$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

Per quanto ne so, per il generale , il problema di progettare algoritmi migliori è aperto. Per possibili conseguenze o considerazioni teoriche sulla complessità, Downey e Fellows (vedi ad esempio [4]) hanno mostrato k -clique con il parametro k è W [ 1 ] -hard. La classe W [ 1 ] indica la classe di problemi di decisione con parametri riducibili a CLIQUE con riduzioni con parametri. Si ritiene che CLIQUE non sia trattabile con parametri fissi. Esistono centinaia di altri problemi noti per essere equivalenti a CLIQUE in riduzioni parametrizzate. Inoltre, Feige e Kilian [5, Sezione 2] hanno un risultato dicendo che quando $k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$fa parte dell'input e , quindi è probabile che non esista un algoritmo polytime.$k \approx \log n$

Se si considerano alcune classi di grafici limitate, è possibile risolvere il problema in tempo lineare su grafici cordali. Calcola semplicemente un albero di cricca di un grafico cordale nel tempo O ( n + m ) , quindi controlla se la cricca ha dimensioni esattamente k . Sui grafici planari, si possono anche trovare triangoli nel tempo O ( n ) usando i metodi di [6].$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Itai, Alon e Michael Rodeh. "Trovare un circuito minimo in un grafico." SIAM Journal on Computing 7.4 (1978): 413-423.

[2] Nešetřil, Jaroslav e Svatopluk Poljak. "Sulla complessità del problema dei sottografi." Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 26.2 (1985): 415-419.

[3] Eisenbrand, Friedrich e Fabrizio Grandoni. "Sulla complessità della cricca a parametri fissi e del set dominante." Theoretical Computer Science 326.1 (2004): 57-67.

[4] Downey, RG e Michael R. Fellows. "Fondamenti di complessità parametrizzata." Testi non laureati in Informatica, Springer-Verlag (2012).

[5] Feige, Uriel e Kilian, Joe. "Il non determinismo limitato contro il polinomio". Chicago Journal of Theoretical Computer Science. (1997)

[6] Alon, Noga, Raphael Yuster e Uri Zwick. "Trovare e contare i cicli di lunghezza dati." Algorithmica 17.3 (1997): 209-223.