Un modo semplice per dimostrare che questo algoritmo alla fine termina

Introduzione e notazioni:

Ecco una nuova e semplice versione del mio algoritmo che sembra terminare (secondo i miei esperimenti), e ora vorrei dimostrarlo.

Lascia che la notazione riferisca a un punto dati dimensionale (un vettore). Ho tre set A, B e C, tali che , , : $x_i \in \mathbb{R}^p$ $p$ $|A| = n$ $|B| = m$ $|C| = l$

A = {x_{i} | i = 1, . ., n}

$A = \{x_i | i = 1, .., n\}$

B = {x_{j} | j = n + 1, . ., n + m}

$B = \{x_j | j = n+1, .., n+m\}$

C = {x_{u} | u = n + m + 1, . ., n + m + l}

$C = \{x_u | u = n+m+1, .., n+m+l\}$

Dato , denota la distanza euclidea media da ai suoi punti più vicini in ; e denotano la distanza euclidea medio da al suo più vicino a punti . $k \in \mathbb{N^*}$ $d_{x_i}^A$ $x_i$ $k$ $A$ $d_{x_i}^C$ $x_i$ $k$ $C$

Algoritmo:

$A$ $B$ $B$ $C$ $A$ $C$ $B$

$A' = \{ x_i \in A \mid d_{x_i}^A > d_{x_i}^C \}$
$A = A \setminus A'$ $B = B \cup A'$
$B' = \{ x_i \in B \mid d_{x_i}^A < d_{x_i}^C$
$B = B \setminus B'$ $A = A \cup B'$
$A$ $B$ $B$ $A$ $|A| \leq k$ $|B| \leq k$

L'algoritmo termina in due casi:

$|A|$ $|B|$ $k$
$A' = B' = \emptyset$

Domanda:

$\sum_{x \in A} d_x^C + \sum_{x \in B} d_x^A$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^C$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^B$ $\sum_{x \in A} d_x^B + \sum_{x \in B} d_x^A$

Appunti:

$k$ $x$ $S$ $k$ $x$ $S$ $x$ $k = 1$
$A, B, C$ $\forall x_i \in B, x_j \in A$ $x_b \in C$ $x_i$ $x_a \in C$ $x_j$ $distance(x_i, x_b) < distance(x_j, x_a)$ $B$ $C$ $A$
$A$ $B$ $A$ $B$ $A'$ $B$

— SHN
fonte

Perché sei interessato a questo particolare algoritmo?

shna: Che cosa vuoi fare con una raccolta di punti arbitrariamente divisa in tre serie?

@shna Conoscere lo scopo e l'obiettivo dell'algoritmo può portare a una migliore intuizione e quindi aiutare il problema.

A

$A$

B

$B$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

C

$C$

B

$B$

La migrazione a Cstheory è stata rifiutata.

$k = 1$

$A$ $B$ $A$ $B$

$x$ $x$ $B$ $A$ $x$ $A$ $x'$ $A$ $d_x^C > dist(x, x')$ $f$ $f(x) = x'$ $x'$ $A$ $B$ $x'$ $A$ $x$ $f(f(x)), f(f(f(x))),$

$f^n(x) = f^m(x)$ $m > n$ $d_{f(x)}^C, d_{f^2(x)}^C, ... d_{f^n(x)}^C, ...$ $o$ $d_{f^{o-1}(x)}^C \leq d_{f^o(x)}^C$

$f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $C$ $d_{f^o(x)}^C \geq d_{f^{o-1}(x)}^C > dist(f^{o-1}(x), f^o(x))$ $f$

$f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $A$ $f$ $k = 1$

— causativo
fonte

Questo è in qualche modo complicato e può essere mostrato solo per

k = 1

$k = 1$

@shn Non sono sicuro del motivo per cui stai criticando la scelta della tecnica di prova di qualcuno che ha avuto più successo nel risolvere il tuo problema di te. Soprattutto quando la tua domanda elenca quattro tentativi falliti di usare la tua tecnica preferita.

— David Richerby,

@DavidRicherby Non sto criticando;) In realtà ho discusso di quella soluzione con "causativo" (che ha dato questa risposta) su IRC e abbiamo scoperto che non sarà possibile dimostrarlo in questo modo per

k > 1

$k > 1$