Ogni problema NP ha una formulazione ILP poli-dimensionata?

Poiché la Programmazione lineare integer è NP-completa, c'è una riduzione di Karp da qualsiasi problema in NP ad essa. Ho pensato che ciò implicasse che esiste sempre una formulazione ILP di dimensioni polinomiali per qualsiasi problema in NP.

Ma ho visto articoli su problemi specifici di NP in cui le persone scrivono cose come "questa è la prima formulazione polisensoriale" o "non esiste una formulazione polisensoriale nota". Ecco perché sono perplesso.

— andy
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Dovresti indicare un esempio o dare un preventivo più completo;)

— hugomg,

Esiste una riduzione polinomiale da ogni problema NP completo ad ogni altro problema NP completo. Tuttavia, solo perché sappiamo che ne esiste uno non significa che sappiamo come costruirlo.

— Joe,

@Giovanni, sappiamo come ridurre qualsiasi problema in NP a 3-sat, e anche ogni pratica prova del problema NP completa proviene da una catena di riduzioni da 3-sat, quindi puoi sempre comporre riduzioni da qualsiasi dato problema NPC a qualsiasi altro.

— andy,

@andy non hai semplicemente risposto alla tua domanda con quel commento? Sai che ogni istanza del problema NP può essere scritta come un'istanza 3-SAT polisizzata e sai che un'istanza 3-SAT può essere scritta come un'istanza ILP polisizzata e il polinomio applicato al polinomio è un altro polinomio ... che altro fai aspettarsi da una risposta?

— Artem Kaznatcheev,

Quando qualcuno dice che questa è la prima formulazione poli-dimensione, ciò che intendono è che è la prima formulazione esplicitamente data . Le riduzioni ottenute tramite SAT (anche se ci si prende cura di tutti i dettagli) non sembrano belle e sono difficili da lavorare. Di solito vogliamo formulazioni naturali e facili da lavorare.

— Kaveh,

Risposte:

Questa risposta è principalmente un riepilogo dei commenti sulla domanda sopra.

Se un problema è NP-completo, può effettivamente essere ridotto a ILP, usando le riduzioni di Karp (- Joe, andy). Le affermazioni di "formulazioni di dimensioni polinomiali" da un problema all'altro, sono probabilmente intese come formulazioni più dirette, in contrapposizione a riduzioni multiple attraverso SAT (- Kaveh).

— Realz Slaw
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Sì. Ogni problema NP ha una formulazione ILP di dimensioni polinomiali.

Ecco perché. Ogni problema NP ha una formulazione di dimensioni polinomiali come istanza di SAT. Inoltre, tutti i soliti operatori booleani - OR logico, AND logico, NOT logico, ecc. - possono essere espressi in ILP, usando un numero costante di variabili e disuguaglianze per operatore booleano. Vedere Operazioni logiche booleane espresse nella programmazione lineare integer zero-one (ILP) per i dettagli su come farlo. Pertanto, si ottiene al massimo un ingrandimento di dimensioni costanti quando si passa da SAT a ILP. Ciò implica che esiste una formulazione polinomiale di ogni problema NP come problema ILP.

— DW
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