Perché non è questo problema indecidibile in NP?

Chiaramente non ci sono problemi indecidibili in NP. Tuttavia, secondo Wikipedia :

NP è l'insieme di tutti i problemi di decisione per i quali i casi in cui la risposta è "sì" hanno [.. prove che sono] verificabili in tempo polinomiale da una macchina di Turing deterministica.

[...]

Si dice che un problema si trova in NP se e solo se esiste un verificatore per il problema che si esegue in tempo polinomiale.

Ora considera il seguente problema:

Data un'equazione di Diophantine , ha qualche soluzione intera?

Data una soluzione, è facile verificare in tempo polinomiale che in realtà è una soluzione: basta collegare i numeri nell'equazione. Pertanto, il problema è in NP. Tuttavia, è noto che risolvere questo problema è indecidibile !

(Allo stesso modo, sembra che il problema di arresto dovrebbe essere in NP, dal momento che la risoluzione "sì" di "questo programma si interrompe al passaggio N-esimo" può essere verificata in passaggi N.)

Ovviamente c'è qualcosa che non va nella mia comprensione, ma che cos'è?

Una definizione equivalente di NP è che consiste in tutti i problemi che sono decidibili (non solo verificabili) nel tempo polinomiale da una macchina di Turing non deterministica. È noto che le NTM non sono più potenti delle TM, nel senso che l'insieme di problemi decidibili dalle NTM è identico all'insieme dei problemi decidibili dalle TM, quindi chiaramente con questa definizione non ci possono essere problemi indecidibili in NP.

Per dimostrare che le due definizioni di NP sono equivalenti, data l'esistenza di un verificatore deterministico, è possibile dimostrare l'esistenza di un decisore non deterministico e viceversa.

Supponi di avere un verificatore polinomiale deterministico. Quindi c'è anche una macchina che indovina in modo non deterministico un certificato di una lunghezza limitata dal polinomio corrispondente alla dimensione del certificato associata a questo problema / verificatore e quindi esegue il verificatore. Poiché l'alfabeto è finito, il certificato per ogni dato input è finito (e al massimo polinomiale nella dimensione dell'input) e il verificatore viene eseguito in un tempo polinomiale, la macchina si arresta su tutti i rami per tutti gli input e viene eseguita (non- deterministico) tempo polinomiale. Quindi esiste un decisore non deterministico per ogni verificatore deterministico.

Se hai un decisore non deterministico, allora per ogni calcolo accettante puoi scrivere il percorso delle scelte prese dal decisore per raggiungere lo stato di accettazione. Poiché il decisore corre nel tempo polinomiale, questo percorso avrà la massima lunghezza polinomiale. Ed è facile per una TM deterministica convalidare che un tale percorso è un percorso valido attraverso un NTM verso uno stato di accettazione, quindi tali percorsi formano certificati per un verificatore di tempo polinomiale per il problema. Quindi esiste un verificatore deterministico per ogni decisore non deterministico.

Pertanto, qualsiasi problema indecidibile non può avere un verificatore che funzioni su certificati di dimensioni polinomiali (altrimenti l'esistenza del verificatore implicherebbe l'esistenza di un decisore).

Quando affermi che esiste un verificatore per il problema di arresto, il certificato di cui stai parlando è una codifica di (TM, I, N), in cui la TM si ferma sull'ingresso I in N passaggi. Ciò può essere verificato in N passaggi, ma la dimensione del certificato non è polinomiale nella dimensione dell'input (TM, I) al problema originale (il problema di arresto); N può essere arbitrariamente grande (indipendentemente dalla codifica). Se provi a convertire un tale verificatore in un decisore non deterministico, finisci con una macchina piuttosto interessante. Dovresti essere in grado di dimostrarlo quando eseguito su (TM, I) per una TM che non lo fastop su input I non esistono percorsi non-stop attraverso la macchina, ma anche che per qualsiasi percorso che porta ad uno stato di arresto c'è sempre un altro percorso più lungo (corrispondente a un'ipotesi di una N più grande), e quindi non c'è limite finito il suo tempo di esecuzione. In sostanza questo è perché c'è uno spazio infinito che deve essere esplorato dall'ipotesi iniziale non deterministica. La conversione di un tale NTM in una TM deterministica porta a una di quelle macchine che non eseguono loop o si fermano su alcuni input. In realtà non esiste NTM in grado di decidere il problema di arresto, quindi non esiste un verificatore che funzioni su certificati con dimensioni limitate.

Non ho molta familiarità con le equazioni di Dihanthant, ma sembra essenzialmente che lo stesso problema si applichi al tuo argomento.

Per questo motivo trovo più facile ragionare sulla definizione NTM di NP. Esistono verificatori per problemi indecidibili (ma non quelli che funzionano su certificati con una dimensione polinomiale legata alla dimensione dell'input al problema originale). In effetti, qualsiasi TM che riconosce ma non decide una lingua può essere facilmente convertita in un verificatore per la stessa lingua.

Se pensi ai verificatori, suppongo che tu debba dare i loro limiti di tempo in termini di dimensioni dell'input del problema originale , non in termini di dimensioni del certificato; puoi gonfiare arbitrariamente la dimensione dei certificati in modo che il verificatore venga eseguito in un tempo inferiore in termini di dimensioni del certificato.

Penso che tu abbia frainteso cosa significhi risolvere un'equazione diottantina e il teorema di indecidibilità di Matiyasevich .

Matiyasevich ha dimostrato che per ogni set di RE esiste un'equazione diofentina f ( n ; $S$ tali che n ∈ S solo se integer coefficienti esiste x 1 , .., x k tale che f ( n , x 1 , . . . , x k ) = $f(n;x_1,...,x_k)$$n \in S$$x_1$$x_k$$f(n;x_1,...,x_k) = 0$. In particolare, il problema di arresto è un tipico set di RE, e quindi la risoluzione del problema sopra è indecidibile.

Si noti che non ha dimensioni limitate e in generale può essere arbitrariamente grande, quindi non esiste un "certificato con dimensioni polinomiali" evidente in questo problema.$x_1, ... x_k$

Per espandere: gli interi deve essere scritto in binario per essere un certificato. Poiché questi numeri interi possono essere arbitrariamente grandi (indipendentemente da n ), abbiamo che il certificato non è polinomiale nel registro n o, cosa più importante, non è limitato dalla funzione calcolabile.$x_1, ... , x_k$$n$$\log n$

Tuttavia, ogni problema in ha un certificato limitato da un polinomio p ( N ) (dove N è la dimensione dell'input). Quindi le domande di N P sono banalmente decidibili, poiché puoi enumerare ogni possibile stringa di bit fino alla lunghezza p ( N ) e se nessuna di esse certifica l'input, restituisce false. Se alcuni restituiscono true.$\mathsf{NP}$$p(N)$$N$$\mathsf{NP}$$p(N)$

Avresti dovuto scorrere fino alla definizione formale :

Una lingua è in NP se e solo se esistono polinomi p e q e una macchina di Turing deterministica M , tale che$L$$p$$q$$M$

• Per tutte e y, la macchina M gira nel tempo p ( | x | ) sull'input ( x , y ) .$x$$M$$p(|x|)$$(x,y)$
• Per tutti $x \in L$ , esiste una stringa di lunghezza q ( | x | ) tale che M ( x , y ) = 1 .$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 1$
• Per tutte le e tutte le stringhe$x \not\in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 0$

Cioè, un verificatore deve lavorare anche su non soluzioni. Da qualche parte lì, i problemi indecidibili falliscono (nel tuo caso, la restrizione di lunghezza dei candidati alla soluzione non è probabilmente soddisfatta), come è evidente dalla (in senso calcolabile) definizione più chiara :

NP è l'insieme di problemi di decisione decidibili da una macchina di Turing non deterministica che gira in un tempo polinomiale.

Cerco di fornire maggiori dettagli per la mia risposta di cui sopra.

In effetti, questa domanda è un problema di dilemma.

Da un lato, il Problema dell'equazione diofantina (DEP) è indecidibile secondo il teorema di Matiyesevich (il teorema di Matiyesevich risponde al decimo problema di Hilbert e il problema Halting di Turing risponde alla generalizzazione del decimo problema di Hilbert, cioè il problema di Entscheidungs); ma d'altra parte, non vi è alcun problema indecidibile in NP secondo la definizione di NP (decidibile e verificabile).

Vale a dire, o DEP non è in NP o DEP è in NP. Entrambi riguardano la definizione di NP.

Se DEP non è in NP, ciò significa che i problemi in NP (NDTM ＝ NonDeterminstic Turing Machine) sono decidibili e verificabili, vale a dire che accettiamo P = NP (NDTM).

Se DEP è in NP, allora NP (NTM ＝ Non Turing Machine) contiene decidibili e indecidibili, ovviamente decidibili è verificabile, quindi il problema è se è indecidibile verificabile? In realtà, questo è il famoso problema di P vs. NP. Certamente, l'indecidibile non è verificabile, quindi NP corrisponde a NTM (Non Turing Machine) invece di NDTM (NonDeterminstic Turing Machine).

Partendo dalla premessa di DEP è in NP (NTM), pensiamo che NP (NTM) sia Problema non deterministico (indecidibile), e l'attuale definizione di NP (NDTM, decidibile e verificabile) ha perso questo non determinismo (indecidibile), quindi pensiamo che debba essere messo in discussione.

Pensiamo che il dilemma che hai sollevato sull'equazione diofantea sia molto significativo, perché rivela qualcosa di anormale nell'attuale definizione di NP: - Si dice che un problema si trova in NP se e solo se esiste un verificatore per il problema che si esegue in polinomio tempo.

Per quanto riguarda la definizione di NP, si può risalire agli anni '60, dove sono stati scoperti un gran numero di problemi applicabili e significativi per i quali non è stato possibile trovare algoritmi polinomiali per risolverli, al fine di riconoscere questi problemi da quei problemi risolvibili in tempo polinomiale (P), il concetto di NP è stato messo in luce.

Tuttavia, l'attuale definizione di NP definita come verificabile in tempo polinomiale confonde NP con P, poiché un problema in P è verificabile anche in tempo polinomiale. In altre parole, tale definizione porta alla perdita dell'essenza di NP, «non determinismo». Di conseguenza, provoca gravi ambiguità nella comprensione di NP, ad esempio, il tuo dilemma: per natura il problema dell'equazione diofantea è indecidibile; ma dalla definizione di NP, è decidibile, ...

A nostro avviso, la difficoltà nel risolvere «P contro NP» risiede innanzitutto a livello cognitivo, quindi se speriamo di avere una visione di «P contro NP», dobbiamo prima chiederci: che cos'è NP?