Trova la mediana della matrice non ordinata in

Per trovare la mediana di un array non ordinato, possiamo creare un min-heap nel tempo per elementi, quindi possiamo estrarre uno per uno elementi per ottenere la mediana. Ma questo approccio richiederebbe tempo . $O(n\log n)$ $n$ $n/2$ $O(n \log n)$

Possiamo fare lo stesso con un metodo in time? Se possiamo, allora come? $O(n)$

algorithms time-complexity

— luv
fonte

en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm

— Jukka Suomela

@JukkaSuomela Perché non rendere questa una risposta rapida e semplice (con una breve spiegazione di uno di questi algoritmi, idealmente)?

— Raffaello

Nota la meta discussione relativa ; a quanto pare, semplici ricerche sul web portano alla risposta a questa domanda.

— Raffaello

stackoverflow.com/questions/2571358/median-of-a-billion-numbers

— Evgeny

Risposte:

Questo è un caso speciale di un algoritmo di selezione che può trovare il ° elemento più piccolo di un array con è la metà della dimensione dell'array. C'è un'implementazione che è lineare nel caso peggiore. $k$ $k$

Algoritmo di selezione generico

Per prima cosa vediamo un algoritmo find-kthche trova il esimo elemento più piccolo di un array: $k$

find-kth(A, k)
  pivot = random element of A
  (L, R) = split(A, pivot)
  if k = |L|+1, return pivot
  if k ≤ |L|  , return find-kth(L, k)
  if k > |L|+1, return find-kth(R, k-(|L|+1))

La funzione split(A, pivot)restituisce in modo L,Rtale che tutti gli elementi in Rsiano maggiori di pivote Ltutti gli altri (meno un'occorrenza di pivot). Quindi tutto è fatto in modo ricorsivo.

$O(n)$ $O(n^2)$

Caso peggiore lineare: l' algoritmo mediana delle mediane

Un perno migliore è la mediana di tutte le mediane dei sotto array Adi dimensioni 5, usando la procedura chiamata sull'array di queste mediane.

find-kth(A, k)
  B = [median(A[1], .., A[5]), median(A[6], .., A[10]), ..]
  pivot = find-kth(B, |B|/2)
  ...

$O(n)$

Si noti che la maggior parte delle volte l'utilizzo di un perno casuale è più veloce.

— jmad
fonte

Questa taglia è 5standard? Cosa succede se la dimensione di A è inferiore a 5?

— Jayesh,

Per ogni n fisso, la complessità è costante, a meno che non sia infinita. Quindi, puoi usare qualsiasi algoritmo valido con complessità finita per questo caso speciale, anche se era O (2 ^ n). Per un n fisso (cioè al massimo 4 in out case), la complessità è al massimo O (2 ^ 4) = O (1).

— v6ak,

Sul primo algoritmo: return A[k]non è corretto (a meno Ache non sia ordinato, il che renderebbe discutibile l'algoritmo). Se splitcapita di dividere in Amodo tale k = |L| + 1da non sapere ancora dove si trova l' kelemento th. Il caso base è quando |A| = 1è ancora necessario effettuare una delle due chiamate ricorsive.

— wcochran,

@NickCaplinger corretto usando web.archive.org

— jmad

Non è il caso peggiore per l'algoritmo di selezione generico O (NlogN)? Anche se la chiamata ricorsiva lascia solo il 10% dell'array dopo ogni chiamata, rimane comunque un logaritmo in base 10.

— Ottaviano

$n^{-1/4}$ $O(n)$

L'idea principale dell'algoritmo è utilizzare il campionamento. Dobbiamo trovare due elementi vicini nell'ordine della matrice e che abbiano la mediana tra loro. Vedere il riferimento [MU2017] per una discussione completa.

[MU2017] Michael Mitzenmacher ed Eli Upfal. "Probabilità e informatica: randomizzazione e tecniche probabilistiche in algoritmi e analisi dei dati", capitolo 3, pagine 57-62. Cambridge University Press, Seconda edizione, 2017.

— ZDM
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