La complessità temporale di trovare il diametro di un grafico

Qual è la complessità temporale nel trovare il diametro di un grafico ?$G=(V,E)$

• ${O}(|V|^2)$
• ${O}(|V|^2+|V| \cdot |E|)$
• ${O}(|V|^2\cdot |E|)$
• ${O}(|V|\cdot |E|^2)$

Il diametro di un grafico è il massimo dell'insieme delle distanze più brevi tra tutte le coppie di vertici in un grafico.$G$

Non ho idea di cosa fare al riguardo, ho bisogno di un'analisi completa su come risolvere un problema come questo.

Aggiornare:

Questa soluzione non è corretta.

Sfortunatamente la soluzione è vera (e semplice) per gli alberi! Trovare il diametro di un albero non ha nemmeno bisogno di questo. Ecco un controesempio per i grafici (il diametro è 4, l'algoritmo restituisce 3 se si seleziona questa ):$v$

Se il grafico è diretto, questo è piuttosto complesso, ecco alcuni documenti che sostengono risultati più rapidi nel caso denso rispetto all'utilizzo di algoritmi per i percorsi più brevi di tutte le coppie.

Tuttavia il mio punto principale riguarda il caso in cui il grafico non è diretto e con pesi non negativi, ho sentito parlare di un bel trucco più volte:

1. Scegli un vertice $v$
2. Trova tale che d ( v , u ) è massimo$u$$d(v,u)$
3. Trova tale che d ( u , w ) sia massimo$w$$d(u,w)$
4. Ritorna $d(u,w)$

La sua complessità è la stessa di due prime ricerche di ampiezza successive¹, ovvero se il grafico è collegato².$O(|E|)$

Sembrava folklore ma in questo momento, sto ancora lottando per ottenere un riferimento o per dimostrarne la correzione. Aggiornerò quando raggiungerò uno di questi obiettivi. Mi sembra così semplice pubblicare la mia risposta proprio ora, forse qualcuno la riceverà più velocemente.

¹ se il grafico è ponderato, Wikipedia sembra dire ma sono sicuro solo di O ( | E | log | V | ) .$O(|E|+|V|\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

² Se il grafico non è collegato si ottiene ma potrebbe essere necessario aggiungere O ( α ( | V | ) ) per selezionare un elemento da ciascun componente collegato. Non sono sicuro che ciò sia necessario e, comunque, potresti decidere che il diametro è infinito in questo caso.$O(|V|+|E|)$$O(α(|V|))$

$G$$G$

$\Theta(|V|^3)$$\cal{O}(|V|^2\log |V| + |V|\cdot|E|)$

$\cal{O}(|V|^2)$

$\text{diam}(G)$$t$$M=I+A$$M^t$$t$$O(\log n)$$O(M(n) \log n)$$M(n)$$O(n^{2.3727} \log n)$

$O(n^2)$

Presupposti:
1. Il grafico non è ponderato
2. Il grafico è diretto

O (| V || E |) complessità temporale.

Algoritmo:

ComputeDiameter(G(V,E)):
  if ( isCycle( G(v,E) ) ) then
     return INFINITY
  if ( not isConnected( G(V,E) )) then
     return INFINITY
  diameter = 0
  for each vertex u in G(V,E):
     temp = BFS(G,u)
     diameter = max( temp , diameter )
  return diameter

Spiegazione:
Controlliamo il ciclo. se il grafico contiene un ciclo, continuiamo a muoverci nel loop, quindi avremo una distanza infinita. Controlliamo per collegato. Se il grafico non è collegato, significa che il vertice u da G1 al vertice v in G2. Dove G1 e G2 sono due sotto-grafici che non sono collegati. Quindi avremo di nuovo una distanza infinita. Useremo BFS per calcolare la distanza massima tra un dato nodo (u) a tutti gli altri nodi (v) che sono raggiungibili da u. Quindi prenderemo il massimo del diametro precedentemente calcolato e il risultato restituito da BFS. Quindi avremo il diametro massimo attuale.

Analisi del tempo di esecuzione:

1. O (| E |) utilizzando DFS
2. O (| E |) utilizzando DFS
3. BFS viene eseguito nel tempo O (| E |).
4. Dobbiamo chiamare la funzione BFS per ciascun vertice in modo che il tempo totale occorrerà O (| V || E |).

Tempo totale = O (| v || E |) + O (| E |) + O (| E |)
Da | V || E | > | E |
quindi abbiamo tempo di esecuzione come O (| v || E |).

BFS
DFS

Nota: questa non è una soluzione elegante a questo problema.