Teorema del maestro non applicabile?

Data la seguente equazione ricorsiva

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ vogliamo applicare il teorema del Maestro e notare che

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

Ora controlliamo i primi due casi per $\varepsilon > 0$ , cioè se

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ o
$n\log n \in \Theta(n)$ .

I due casi non sono soddisfatti. Quindi dobbiamo controllare il terzo caso, cioè se

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ .

Penso che la terza condizione non sia soddisfatta. Ma perché? E quale sarebbe una buona spiegazione del perché il teorema del Maestro non può essere applicato in questo caso?

— Gioacchino
fonte

Vedi il modulo generico del caso 2 nel wiki .

Il caso tre non è soddisfatto perché il

non è

per qualsiasi

. Usa la regola di l'Hôpital sul

limite

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc,

Una volta dimostrato che nessuno dei due casi si applica, questa è la prova che non è possibile applicare il teorema principale come indicato.

— Raffaello

Chi ha bisogno del teorema del maestro? Usa alberi di ricorsione.

— JeffE,

Domanda simile su math.SE .

— Raffaello

Risposte:

I tre casi del Teorema del Maestro a cui ti riferisci sono provati nell'Introduzione agli algoritmi di Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein (2a Edizione, 2001).

Si osserva correttamente che la ricorrenza in questione rientra tra il caso 2 e il caso 3. Questo è cresce più velocemente di ma più lentamente di per qualsiasi . $f(n) = n \log n$ $n$ $n^{1+\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$

Tuttavia, il teorema può essere generalizzato per coprire questa ricorrenza. Prendere in considerazione

$f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ $k\geq 0$

$k = 0$ $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$

Nella Introduzione agli algoritmi questa affermazione è lasciata come esercizio.

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

Maggiori dettagli sul Teorema del Maestro possono essere trovati nell'eccellente (imho) pagina di Wikipedia .

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

c

$c$

f (n) = n \log n

$f(n) = n \log n$

g (n) = n^{1 + ε}

$g(n) = n^{1+\varepsilon}$

\log n \notin Θ (n^{1 + ε}) .

$\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

Schizzo della prova del teorema del maestro per il caso 2A.

Questa è una riproduzione di parti della dimostrazione da Introduzione agli algoritmi con le modifiche necessarie .

Innanzitutto dimostriamo il seguente Lemma.

Lemma A:

Considera una funzione doveQuindi

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

h (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n .

$h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

Prova: sostituendo nell'espressione con si può ottenere $h(n)$ $g(n)$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

Se è una potenza esatta di data una ricorrenza si può riscriverlo come Sostituendo con , spostando all'esterno e applicando Lemma A otteniamo $n$ $b$

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} T (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j T(n/b^j).$

f (n)

$f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n)

$\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$

Θ

$\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

La generalizzazione di questo in un numero intero arbitrario che non è una potenza di va oltre lo scopo di questo post. $n$ $b$

— Dmitri Chubarov
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Il teorema di Akra-Bazzi è una rigorosa generalizzazione del teorema principale. Come bonus la sua prova è una tormenta di integrali che ti farà girare la testa ;-)

In ogni caso, Sedgewick nella sua "Introduzione all'analisi degli algoritmi" sostiene in modo convincente che si dovrebbe sforzarsi di provare gli asintotici di tipo . $T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
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