Regex golf NP-Complete è?

Come visto in questa recente striscia XKCD e in questo recente post sul blogda Peter Norvig (e una storia di Slashdot con quest'ultima), "regex golf" (che potrebbe essere chiamato il problema della separazione delle espressioni regolari) è l'enigma di definire l'espressione regolare più breve possibile che accetta ogni parola nel set A e nessuna parola in il post di B. Norvig include un algoritmo per generare un candidato ragionevolmente breve e nota che il suo approccio prevede la risoluzione di un problema di Set Cover NP completo, ma è anche attento a sottolineare che il suo approccio non considera ogni possibile espressione regolare, e ovviamente il suo non è necessariamente l'unico algoritmo, quindi le sue soluzioni non sono garantite per essere ottimali, ed è anche possibile che alcuni altri algoritmi in tempo polinomiale possano trovare soluzioni equivalenti o migliori.

Per ragioni di concretezza e per evitare di dover risolvere la domanda di ottimizzazione, penso che la formulazione più naturale della separazione delle espressioni regolari sarebbe:

Dati due insiemi (finiti) e B di stringhe su un po 'di alfabeto Σ , esiste un'espressione regolare di lunghezza ≤ k che accetta ogni stringa in A e rifiuta ogni stringa in B ?$A$$B$$\Sigma$$\leq k$$A$$B$

Si sa qualcosa sulla complessità di questo particolare problema di separazione? (Da notare che da quando ho specificato e B come insiemi finiti di stringhe, la nozione naturale di dimensione per il problema è la lunghezza totale di tutte le stringhe in A e B ; questo sommerge qualsiasi contributo da k ). Mi sembra molto probabile che sia NP-completo (e in effetti, mi aspetto che la riduzione sia dovuta a una sorta di problema di copertura) ma alcune ricerche non hanno rivelato nulla di particolarmente utile.$A$$B$$A$$B$$k$

Supponendo la variante TCS di regex, il problema è effettivamente NP-completo.

Partiamo dal presupposto che i nostri regexes contengono

• lettere di , corrispondenti a se stesse,$\Sigma$
• , che indica unione,$+$
• , che indica concatenazione,$\cdot$
• , che indica Kleene-Star,$*$
• , corrispondente alla stringa vuota$\lambda$

e nient'altro. La lunghezza di una regex è definita come il numero di caratteri da . Come nel fumetto, consideriamo una regex per abbinare una parola, se corrisponde a una sottostringa della parola. (La modifica di una qualsiasi di queste ipotesi dovrebbe influenzare solo la complessità della costruzione di seguito, ma non il risultato generale.)$\Sigma$

Che sia in NP è semplice, come spiegato nei commenti (verificare un candidato-RE traducendolo in un NFA ed eseguendolo su tutte le parole da e B ).$A$$B$

Per mostrare la durezza NP, riduciamo la copertura del set:

Dato un universo e una raccolta C di sottoinsiemi di U , esiste un insieme C ′ ⊆ C di dimensione ≤ k in modo che ⋃ S ∈ C ′ S = U ?$U$$C$$U$$C' \subseteq C$$\leq k$$\bigcup_{S \in C'} S = U$

Traduciamo un input per Set cover in uno per regex golf come segue:

• contiene un carattere per ciascun sottoinsieme in C e un carattere aggiuntivo (indicato con x in seguito).$\Sigma$$C$$x$
• contiene una parola per ogni elemento e di U . La parola è composta esattamente dai caratteri che rappresentano sottoinsiemi in C che contengono e (in ordine arbitrario).$A$$e$$U$$C$$e$
• contiene la singola parola x .$B$$x$
• viene semplicemente riportato.$k$

Questa riduzione è ovviamente in P e l'equivalenza è anche abbastanza semplice da vedere:

• Se è una soluzione per l'istanza di copertina impostata, regex c 1 + ⋯ + c k è una soluzione per regex golf.$c_1, \ldots, c_k$$c_1 + \cdots + c_k$
• Una regex che corrisponda alla parola secondaria vuota corrisponderebbe a . Pertanto, qualsiasi regex risolvere il problema campo deve contenere almeno una lettera da ciascuna delle parole A . Quindi, se l'istanza del golf è risolvibile, esiste un insieme di al massimo k lettere da Σ in modo che ogni parola in A sia coperta da questo insieme di lettere. Per costruzione, l'insieme corrispondente di sottoinsiemi da C è una soluzione all'istanza di copertura dell'insieme.$x$$A$$k$$\Sigma$$A$$C$