Contando e trovando tutti gli abbinamenti perfetti / massimi nei grafici generali

Di recente ho avuto a che fare con un problema che mi ha portato alle seguenti domande:

• Esiste un buon algoritmo per enumerare tutte le corrispondenze massime / perfette in un grafico generale?
• Esiste un buon algoritmo per trovare tutte le corrispondenze massime / perfette in un grafico generale?
• Questi due problemi sono equivalenti nella loro complessità?

Mi sono imbattuto nei seguenti riferimenti:

• Algoritmi per enumerare tutti gli abbinamenti massimi e massimi perfetti nei grafici bipartiti : suggerire un algoritmo per enumerare tutti gli abbinamenti massimi in un grafico bipartito.
• Trovare tutti gli abbinamenti perfetti nei grafici bipartiti : suggerire un algoritmo per trovare tutti gli abbinamenti perfetti nei grafici bipartiti

La complessità di entrambi gli algoritmi dipende dal numero di corrispondenze perfette nel grafico (che significa tempo di esecuzione esponenziale nel peggiore dei casi).

Inoltre, entrambi gli articoli trattano dei grafici bipartiti, non sono riuscito a trovare articoli simili che trattano lo stesso problema nei grafici generali.

Gradirei informazioni e riferimenti sui problemi di cui sopra.

Contare il numero di corrispondenze perfette nei grafici bipartiti equivale a calcolare il permanente di 0-1 matrici, che è completo. Ne consegue che c'è una riduzione da tutti gli altri problemi di conteggio che menzionate (che sono tutti in ) a questo problema. È possibile calcolare il numero di corrispondenze perfette nei grafici bipartiti planari e approssimare il numero di corrispondenze perfette nei grafici bipartiti generali. Vedi ad esempio questo sondaggio . Approssimare il numero di corrispondenze perfette nei grafici generali è apparentemente più difficile, vedi ad esempio questo documento o quel documento$\# P$$\# P$. Entrambi i documenti menzionano che i loro algoritmi sembrano funzionare bene su grafici casuali, ma non necessariamente nel migliore dei casi.

I problemi del conteggio e dell'enumerazione delle corrispondenze nei grafici sono di diverso tipo, quindi è difficile dire se siano "equivalenti". Nota, tuttavia, che se potessi enumerare gli abbinamenti, potresti contarli. Ciò dimostra che, in un certo senso, enumerare è più difficile del conteggio. Nel caso degli abbinamenti perfetti nei grafici bipartiti, sembra esserci una differenza, poiché puoi approssimare il numero di abbinamenti perfetti, ma calcolarli esattamente è -hard.$\# P$