NP-completezza di un problema di colorazione del grafico

Formulazione alternativa

Ho trovato una formulazione alternativa al problema seguente. La formulazione alternativa è in realtà un caso speciale del seguente problema e utilizza grafici bipartiti per descrivere il problema. Tuttavia, credo che la formulazione alternativa sia ancora NP-difficile. La formulazione alternativa utilizza un insieme disgiunto di nodi in entrata e in uscita che semplifica la definizione del problema.

Dato uscita e nodi in entrata (nodi rosso e blu nella figura rispettivamente), e un set 'S di dimensione di pesi bordo tra i vertici uscita e in entrata. L'obiettivo del problema è colorare i bordi spessi nella figura in modo tale che per ogni nodo in arrivo sia valida una condizione. $n$ $n$ $w_{ij}$ $n \times n$

Grafico bipartito del problema

Dato un set dei vertici di output, un set $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$ dei vertici di ingresso, pesi tra 's ed ' s per , e una costante positiva , trovare il numero minimo di colori per i bordi (bordi spessi nella figura sopra) tale che per tutti , $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$ $n \times n$ $w_{ij} \ge 0$ $O_i$ $I_j$ $i,j=1 \dots n$ $\beta$ $e_{ii}$ $j=1 \dots n$

$\frac{w_{j j}}{1 + \sum_{c (i) = c (j), i \neq j} w_{i j}} \geq β$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$
dove mostra il colore del bordo . $c(i)$ $e_{ii}$

Vecchia formulazione

Il seguente problema mi sembra NP-difficile, ma non ho potuto dimostrarlo. È gradita qualsiasi prova / commento per dimostrarne la durezza o la facilità.

Assumere è un grafo orientato completo zavorrato con nodi e bordi. Let mostra il peso del bordo e mostra il colore del bordo . Dato un sottoinsieme dei bordi e una costante positiva l'obiettivo è: trovare il numero minimo di colori tale che per ogni $K_n=\langle V,E \rangle$ $n$ $n(n-1)$ $w_{ij} \ge 0$ $ij$ $c(ij)$ $ij$ $T \subseteq E$ $\beta$ : $e_{ij} \in T$

e
$\frac{w_{i j}}{1 + \sum_{c (k l) = c (i j), k l \neq i j} w_{k j}} \geq β .$ $\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$ $c (i j) \neq c (i k) f o r j \neq k$ $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$

Si noti che nel problema precedente, solo i bordi in devono essere colorati. Questo è il problema che può essere risolto in . $T$ $\mathcal{O}(|T|!)$

Aggiornare:

Dopo il commento di Tsuyoshi Ito ho aggiornato il problema. Il denominatore viene modificato da in $1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$ $1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$ . Pertanto, il denominatore contiene i pesi esterni pure. Ecco perché ho menzionato il grafico completo nella definizione. $T$

Ho anche aggiunto un vincolo aggiuntivo . Ciò significa che i bordi in uscita da un nodo devono essere di colori diversi (ma i colori in entrata possono essere gli stessi purché la disuguaglianza sia valida). Questo pone un limite inferiore intuitivo il numero di colori, che è il grado in uscita-massimo dei nodi in . $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$ $T$

$w_{ij}$ $T$ $\beta$

Aggiornamento 2:

$e_{ij}$ $e_{ji}$

— Elio
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@Raphael: Normalmente, un problema di colorazione dei bordi sembra essere un buon candidato per la riduzione. Trovare il problema np-hard più semplice per la riduzione è la parte più difficile. Il prossimo passo è trovare i pesi corretti per la mappatura. Immagino, se un problema di colorazione del bordo si riduce al problema sopra, i pesi dovrebbero essere come 0/1 o dobbiamo risolvere un sistema di disuguaglianze per trovare i pesi.

— Elio

Alcuni commenti sulla formulazione del problema: (1) Qual è l'input? Immagino che l'input sia w_ij per tutti gli spigoli, T e β, ma in tal caso, non dovresti definire w_ij ec (ij) come se fossero dati allo stesso modo. (2) Come capisco quello che hai scritto, i bordi esterni a T non vengono mai citati. Quindi è più semplice definire il grafico diretto costituito dai bordi in T invece di considerare il grafico diretto completo.

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto: Grazie per i tuoi commenti, ho aggiornato la domanda.

— Elio

A proposito, il problema mi sembra piuttosto disordinato. Se spieghi come hai raggiunto questo problema (in altre parole, perché sei interessato a questo problema), potrebbe aiutare gli altri a capire il problema.

— Tsuyoshi Ito,

T

$T$

$n$ $n$ $n$ $i$ $w_{ii}=1$ $i \neq j$ $i$ $j$ $w_{ij}=w_{ji}=1$ $w_{ij}=w_{ji}=0$ $\beta=1$

$\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$

$i$ $j$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $i$ $j$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ $\frac{1}{1+X}$ $X$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ fornisce una soluzione con un numero inferiore di colori.

— Elio
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$c(ij)=c(ji)$ $T$ $0$

$G=(V,E)$ $D=(V,A)$ $\forall uv\in E$ $(u,v)$ $(v,u)$ $A$ $a \in A$ $w_{a} = 1$ $\forall xy \notin E$ $(x,y)$ $(y,x)$ $A$ $w_{xy}=w_{yx}=0$ $\beta$ $1$ $T=A$

$0$

$k$ $NP$

$NP$

— Luke Mathieson
fonte

Come imponi che c (ij) = c (ji)? Questo non è necessariamente vero nel problema in questione, se lo capisco correttamente.

— Tsuyoshi Ito,

Buon punto. Modificherò il post originale per notare il problema.

— Luke Mathieson,