Perché questa funzione è calcolabile in

Mio libro di testo dice: "Definiamo la funzione $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ come segue: ed . Si noti che dato , abbiamo può facilmente trovare in tempo il numero tale che è inserita tra e ." $f(1)=2$ $f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}$ $n$ $O(n^{1.5})$ $i$ $n$ $f(i)$ $f(i+1)$

Come posso convincermi che possiamo infatti trovare facilmente in tempo? Dato che è definito in modo ricorsivo, penso che dobbiamo calcolare fino a . Per scoprire il tempo impiegato da questi calcoli, penso che dobbiamo trovare un limite superiore adatto per dipendente da e dobbiamo trovare un limite superiore sul tempo di esecuzione della funzione . Alla fine, possiamo sperare di mostrare la proposta citata. Sfortunatamente, non vedo né una cosa né l'altra. $i$ $O(n^{1.5})$ $f$ $f(1),f(2),f(3)\dots f(j)$ $f(j)\geq n$ $i$ $n$ $x\to2^{x^{1.2}}$

Ho dimenticato di menzionare: ti preghiamo di notare che siamo in un contesto non deterministico. Quindi si sostiene che sia calcolabile in da una macchina di Turing non deterministica. $f$ $O(n^{1.5})$

Dato che alcune persone hanno già letto questa domanda, con alcuni di loro che l'hanno trovata utile e interessante, ma nessuno ha risposto finora, voglio fornire qualche informazione in più sul contesto: l'affermazione citata è parte integrante della prova di il teorema della gerarchia temporale non deterministica. La prova (con l'affermazione) può essere trovata ad esempio nel libro di Arora e Barak , ma ho trovato anche molte altre risorse sul Web che presentano la stessa prova. Ognuno di coloro che chiama la pretesa facile o banale e non spiega come trovare in tempo. Quindi, o tutte queste risorse appena copiate da Arora e Barak o l'affermazione non è in realtà così difficile. $i$ $O(n^{1.5})$

complexity-theory algorithm-analysis nondeterminism

— user1494080
fonte

Sembra la dimostrazione del teorema della gerarchia temporale non deterministica in Arora e Barak, vero? In tal caso, suppongo che il non determinismo abbia un ruolo qui.

— G. Bach,

Hai ragione. Scusatemi, avrei dovuto menzionare il contesto non deterministico. Potete per favore spiegare più in dettaglio in che modo il non determinismo ci aiuta a mostrare il limite O (n ^ 1.5)?

— user1494080,

Indicato da la lunghezza di un numero , ovvero (per ). Il calcolo di richiede il tempo nel modello RAM, quindi il calcolo di da richiede tempo $|x|$ $x$ $\lfloor \log_2 x \rfloor + 1$ $x > 0$ $2^x$ $O(x)$ $f(i+1)$ $f(i)$ . Poiché sta crescendo più rapidamente che geometricamente, il tempo complessivo per calcolare è . Come hai sottolineato, devi farlo fino a , il che significa che . Pertanto, il tempo di esecuzione totale è $O(f(i)^{1.2}) = O(|f(i+1)|)$ $f(i)$ $f(i+1)$ $O(|f(i+1)|)$ $f(i+1) \geq n$ $f(i) < n$ . $O(|f(i+1)|) = O(f(i)^{1.2}) = O(n^{1.2})$

Nel modello della macchina di Turing con un singolo nastro, il calcolo di richiede il tempo , quindi il tempo di esecuzione totale è . L'algoritmo per il calcolo di sostituisce con (qui è la rappresentazione binaria di , e $2^x$ $O(x\log x)$ $O(n^{1.2} \log n) = O(n^{1.5})$ $2^x$ $[x]$ $1[[x]]$ $[x]$ $x$ è la rappresentazione binaria che utilizza cifre diverse ), quindi esegue ripetutamente la trasformazione , che richiede tempo . $[[x]]$ $0',1'$ $[[x]] \longrightarrow 0[[x-1]]$ $O(|x|) = O(\log x)$

— Yuval Filmus
fonte

Perfetto grazie! Un'altra domanda: non dobbiamo sostenere che | f (i) | cresce più velocemente che geometricamente anziché che f (i) cresce più velocemente che geometricamente?

— user1494080,

Dal

, è la stessa cosa, ma hai ragione. Quello che vogliamo veramente è

| f (i + 1) | = f (i)^{1.2}

$|f(i+1)| = f(i)^{1.2}$

\sum_{j \leq i} | f (j) | = O (| f (i) |)

$\sum_{j \leq i} |f(j)| = O(|f(i)|)$

— Yuval Filmus,