Le funzioni di ordine superiore forniscono più potenza alla programmazione funzionale?

Ho fatto una domanda simile su cstheory.SE .

Secondo questa risposta su Stackoverflow esiste un algoritmo che su un linguaggio di programmazione funzionale puro non pigro ha una complessità , mentre lo stesso algoritmo nella programmazione imperativa è . L'aggiunta di pigrizia al linguaggio FP renderebbe l'algoritmo$\Omega(n \log n)$$\Omega(n)$$\Omega(n)$ .

Esiste una relazione equivalente che confronta un linguaggio FP con e senza funzioni di ordine superiore? È ancora Turing completo? Se lo è, la mancanza di ordine superiore su FP rende la lingua meno "potente" o efficiente?

In un linguaggio di programmazione funzionale abbastanza potente (ad esempio, con tipi di dati per implementare le chiusure ) è possibile eliminare tutti gli usi di ordine superiore mediante la trasformazione della defunzionalizzazione . Poiché questo metodo viene utilizzato per compilare questo tipo di linguaggio, si può ragionevolmente supporre che ciò non influisca sulle prestazioni e che in questa impostazione un ordine superiore non renda il linguaggio meno potente. Tuttavia influisce su come scrivere il codice.

Tuttavia, se la lingua non è abbastanza potente, allora sì, un ordine superiore fornisce potere espressivo. Considera il lambda-calcolo: senza alcuna funzione di ordine superiore, non può davvero fare nulla, soprattutto perché i tipi di dati più elementari (numeri interi, booleani) sono implementati usando le funzioni.

In conclusione, dipende davvero dalla lingua.

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Sopra è la mia risposta. Di seguito, un commento su una solita ipotesi sulle lingue imperative.

su un algoritmo che su un linguaggio di programmazione funzionale non pigro ha una complessità , mentre lo stesso algoritmo nella programmazione imperativa è Ω ( n ) . L'aggiunta della pigrizia al linguaggio FP renderebbe l'algoritmo Ω ( n ) .$\Omega(n \log n)$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

$n$$O(1)$$O(\log n)$$O(\log m)$$m$$m≥n$$m$$n$

$O(1)$

Dipende da cosa intendi per espressività.

Ecco un argomento secondo cui l'ordine superiore aggiunge qualcosa: con le lingue del primo ordine, la ricorsione primitiva non è sufficiente per esprimere la funzione di Ackermann . Tuttavia, in presenza di funzioni di ordine superiore, è sufficiente la ricorsione primitiva:

$$\begin{array}{lcl} \textit{Ackermann} \ 0 & = & \lambda x. x+1 \\ \textit{Ackermann} \ ( m+1 ) & = & \textit{Iter}\ ( \textit{Ackermann}\ m ) \\ \textit{Iter}\ f\ 0 & = & f\ 1 \\ \textit{Iter}\ f\ ( n+1 ) & = & f\ ( \textit{Iter}\ f\ n ) \end{array}$$

Questo definisce la funzione di Ackermann usando solo la ricorsione primitiva.

$\textit{Iter}$$\textit{Iter}$$\mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N}$$k$$\textit{Iter}$$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}) \rightarrow (\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$