Le isole di collegamento con i pontoni NP sono complete?

Ho un problema nella mia mente, penso che sia un problema NPC ma non so come dimostrarlo.

Ecco il problema:

Ci sono k isole in un lago molto grande e ci sono n pontoni a forma di ventaglio. Quei pontoni hanno le stesse dimensioni ma hanno direzioni iniziali diverse e si trovano in posizioni originali diverse nel lago. I pontoni possono ruotare liberamente attorno al suo centro di massa e nessun costo associato alla rotazione.

Ora dobbiamo spostare quei pontoni in modo che tutte le isole del lago possano essere collegate. Possiamo garantire che il numero di pontoni è sufficiente per collegare tutte le isole.

[Nota]: non possiamo riutilizzare i pontoni !!

Il compito è quello di trovare la soluzione che abbia la distanza totale minima dei pontoni mobili al fine di collegare tutte le isole. La distanza di spostamento di un pontone può essere calcolata come distanza tra il centro della posizione originale della massa e la sua posizione dispiegata.

Per chiarire, ho disegnato una figura del genere. Supponiamo di avere 3 isole A, B e C. Si trovano da qualche parte nel lago. E ho diversi pantoon a forma di ventaglio. Ora la soluzione è trovare una somma minima della distanza mobile per collegare A, B e C, mostrata nella parte inferiore della figura. Spero che aiuti a capire il problema. :)

Sembra che il problema sia un NPC, ma non so dimostrarlo. Qualcuno può aiutarmi in questo?

Primo: questo non è il problema del commesso viaggiatore. Il TSP richiede l'identificazione di un ciclo hamiltoniano di peso minimo; questo ciclo non richiede affatto un ciclo né un percorso di peso minimo. Richiede una costruzione a costo minimo di una serie di bordi di collegamento, in cui il costo di costruzione si basa sullo spostamento dei pontoni.

Secondo: questo non è il problema dell'albero spanning peso minimo. Vedi sopra-- abbiamo bisogno di una costruzione a costo minimo non di identificazione del peso minimo.

Terzo: sembra che il percorso costruito sarà un albero spanning, ma non necessariamente di peso minimo. L'alternativa è che sarebbe un albero spanning più alcuni spigoli aggiuntivi risultanti in un ciclo; ma se iniziamo in una configurazione senza spigoli, allora ogni spigolo ha qualche costo positivo e possiamo sempre trovare un albero di spanning di peso inferiore semplicemente non costruendo i bordi extra.

Quarto: dici che i pontoni ruotano liberamente; Presumo che ciò significhi che nessun costo è associato alla rotazione dei pontoni. Tuttavia, non specifichi su cosa ruotano i pontoni: i loro punti? I loro centri di massa? Qualche punto interno? (Se ci fosse un punto esterno, avremmo costruzioni a peso zero, sì?)

Questo è un po 'sottile, perché se ruotiamo di 90 gradi attorno a un punto interno, diciamo, il centro di massa, qual è il costo? Niente, perché è una rotazione? Qualche importo finito perché il punto è stato spostato? Ora dobbiamo anche conoscere la dimensione dei pontoni.

Quinto: si presume che entrambi i pontoni e le isole siano entrambi incorporati nel piano euclideo?

Dopo aver visto i nuovi diagrammi, vedo che potresti aver bisogno di più pontoni per attraversare le isole. Detto questo, potresti avvicinarti molto a una soluzione del problema di Steiner Tree trasformando i nodi in isole e creando una collezione sufficientemente diversificata di pontoni con piccoli archi. Wikipedia afferma che esiste effettivamente un PTAS per il problema dell'albero di Steiner, quindi non posso dire immediatamente che questo lo rende NP-completo. Tuttavia, guardando i dettagli dell'albero di Steiner potresti ottenere una buona soluzione approssimativa o mostrare che il problema è NP-Complete.

Dopo il disegno, questo è ancora un problema NPC. Anche se riduciamo il problema a ciascun pontone, possiamo assumere 1 di n posizioni (ovvero linee di connessione note. Per ottenere la risposta ottimale, dovremmo provare ogni pontone in ciascuna posizione, aggiungendo la loro distanza per arrivare a quelle posizioni ripetitive ciascuna tempo e confronto con tutti gli altri. se ogni pontone deve essere testato in ogni posizione, allora ci sono n! combinazioni che devono essere testate.

Ho scelto di modificare le immagini del poster originale con alcune aggiunte per mostrare le idee grafiche dietro questo problema.

L'immagine seguente mostra tutti i pontoni (meno 2 per renderlo più semplice) in diversi colori, con tutte le possibili posizioni finali del pontone in ROSSO. Ho tracciato solo le linee tra 3 pontoni e tutte le posizioni finali, ma si potrebbe vedere quanto questo sia PAZZO.

Diciamo che solo per il gusto di farlo, scegliamo che il pontone turchese venga posizionato nella posizione finale più vicina ad esso come primo passo (anche se DAL TSP sappiamo che alla fine potrebbe non essere ottimale).

Di seguito vediamo esattamente che, il pontone e la distanza (aka distanza percorsa ponderata) dovranno viaggiare.

Da qui può essere creato un nodo virtuale con le due posizioni finali accanto alla posizione appena posizionata. Distanza dal nodo impostato e i due nodi adiacenti all'interno del nodo virtuale hanno una distanza di spostamento virtuale di 0.

Di seguito vediamo il nodo virtuale creato con TUTTI i potenziali pesi della distanza da percorrere che possono essere posizionati lì.

Vedendo come ciò continuerebbe e come la soluzione più ottimale (vista più volte con il TSP) non sarà sempre scegliendo la distanza più breve per ogni scelta, dovremmo testare essenzialmente tutti i percorsi per tutti i nodi / nodi virtuali.

Alla fine il primo nodo del problema (TSP) potrebbe essere uno qualsiasi dei potenziali punti del pontone finale, e le linee tracciate da quella sono le distanze da quell'endpoint a tutti gli altri pontoni. tutti gli altri nodi in seguito diventano nodi virtuali come ho illustrato con le loro linee che si staccano come distanze / pesi da tutti i rimanenti pontoni, e così via e così via. Come questo problema grafico NON È ESATTAMENTE il problema del commesso viaggiatore senza il requisito LAST JUMP del ciclo hamiltoniano è al di là di me. Per avere la risposta esatta è necessario testare tutti i percorsi attraverso il grafico.