Quantum Computing and Turing Machines: Le macchine di Turing sono ancora una misura accurata?

Durante la lezione della scorsa settimana, il mio professore ha commentato e detto che le macchine di Turing sono usate come misura / modello standard di ciò che è calcolabile e sono una base utile di discussione per quell'argomento. Ha anche affermato che tutte le varianti delle macchine di Turing si sono dimostrate equivalenti dal punto di vista computazionale - leggi, altrettanto potenti - l'una dell'altra. W

Ho commentato e detto ieri che, per quanto riguarda il potere di calcolabilità, ho notato che alcune macchine turing possono impiegare incredibilmente grandi quantità di tempo per calcolare qualcosa di molto semplice, mentre una macchina turing con più nastri può calcolare qualcosa in una complessità asintotica inferiore rispetto al numero dei passi necessari.

Ha detto che per quanto riguarda il discorso di classe, il tempo di esecuzione di un particolare algoritmo su una macchina di turing non cambia la definizione di calcolabilità o la potenza con cui misuriamo la calcolabilità. "Siamo preoccupati per ciò che è calcolabile, non per ciò che è calcolabile in modo efficiente a questo punto." Quindi, non importa se le macchine di turing hanno sempre più nastri, e sempre più nastri implica che può calcolare in passi minori. Okay, capisco che ci stiamo davvero concentrando su ciò che è calcolabile, non sulla velocità con cui possiamo calcolarlo.

Qualcosa al riguardo mi disturba, perché fino a questo punto, algoritmi con una complessità del tempo e dello spazio asintotica insolitamente grande definiscono davvero i limiti di ciò che, forse dovrei dire, praticamente calcolabile.

Quindi, ho un paio di domande:

1. Supponiamo di avere un modello per un turing quantistico , questo deve essere equivalente a un turing "normale", giusto?

Quindi, la risposta a questa domanda penso davvero stia andando verso la mia ragione per scrivere questo post. La tecnologia di calcolo quantistico anticipa le classiche definizioni di ciò che è calcolabile tramite una macchina da turismo?

2. È qualcosa sopra la mia testa e dovrei eliminare questo post? Non intendo essere precoce, non ho visto una domanda simile alla mia.

Stai mescolando la teoria della computabilità (nota anche come teoria della ricorsione ) e la teoria della complessità (o complessità computazionale ). La teoria della computabilità è una vasta materia matematica che studia le ramificazioni del concetto di calcolo . Non si occupa della complessità del calcolo. Come menziona il tuo professore, tutti i modelli di calcolo (completi di Turing) sono gli stessi dal punto di vista della teoria della calcolabilità. La teoria della computabilità, sebbene sia un'interessante materia matematica, non è un buon modello per il calcolo del mondo reale per questo motivo, come dici tu.

La teoria della complessità ha iniziato la sua vita come un tentativo di affrontare questo problema. La teoria della complessità studia quanto sia difficile, in termini di tempo e spazio, calcolare determinati predicati e funzioni. Dal punto di vista della teoria della complessità, non tutti i modelli di calcolo sono uguali e le macchine di Turing sono prese come modello di riferimento. Tuttavia, anche la teoria della complessità non è molto realistica, poiché tratta tutti i modelli computazionali polinomialmente equivalenti alle macchine di Turing allo stesso modo (due modelli sono polinomialmente equivalenti se qualche problema risolvibile nel tempo e nello spazio in un modello può essere risolto nel tempo e nello spazio nell'altro, dove è la dimensione di input eS ( n ) T ( n ) c S ( n ) c n c O ( 1 ) O ( n log n ) Ω ( n 2$T(n)$$S(n)$$T(n)^c$$S(n)^c$$n$$c$ è una costante positiva). Ad esempio, le macchine di Turing non sono buoni modelli per computer reali poiché non supportano l'accesso casuale (accedendo a un punto arbitrario nella memoria nel tempo ). Naturalmente, l'accesso casuale può essere simulato da una macchina di Turing, ma la simulazione può essere lenta. Si dice spesso che l'ordinamento può essere fatto nel tempo , ma non è così per le macchine Turing, che probabilmente richiedono o si muovono anche per l'ordinamento di numeri interi. Pertanto, nell'ambito degli algoritmi , altri modelli come la macchina RAM sostituiscono le macchine Turing.$O(1)$$O(n\log n)$$\Omega(n^2)$

Infine, i computer quantistici possono essere modellati in diversi modi, come la macchina quantistica di Turing. Tutto ciò che è calcolabile usando i computer quantistici è anche calcolabile usando i computer classici, e quindi dal punto di vista della teoria della calcolabilità, le macchine quantistiche di Turing sono solo un altro modello equivalente. Tuttavia, le macchine di Turing quantistiche sono ampiamente congetturate per non essere polinomialmente equivalenti alle macchine di Turing classiche: ad esempio, il factoring e il logaritmo discreto sono "facili" per le macchine di Turing quantistiche (risolvibili in tempo polinomiale), mentre si ipotizza che siano "difficili" per le macchine di Turing classiche (non può essere risolto nel tempo polinomiale; anche se alcune persone pensano che il factoring intero possa essere risolvibile nel tempo polinomiale). Quindi dal punto di vista della teoria della complessità, diverso dalle classiche macchine di Turing.