Può esattamente uno di NP e co-NP essere uguale a P?

Forse mi manca qualcosa di ovvio, ma può essere che P = co-NP $\subsetneq$NP o viceversa? La mia sensazione è che ci deve essere un teorema che esclude questa possibilità.

No, perché è chiuso per completare questo non può essere, e sappiamo persino che .$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies \mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$

Supponiamo che e lasciamo , quindi . Abbiamo assunto e quindi esiste una TM st . Se prendiamo il "complemento" di , che è una macchina che è identica a tranne che i suoi stati di accettazione e rifiuto sono invertiti, otteniamo che , e quindi è in .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$L \in \mathsf{co\text{-}NP}$$L^c \in \mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$M$$L(M)=L^c$$M$$M'$$M$$L(M')=(L^c)^c=L$$L$$\mathsf{NP}$

Ciò dimostra che, supponendo che , otteniamo e quindi .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$(\mathsf{P}=)\mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$

$\mathsf{P}$ è chiuso sotto complemento (cioè ¹); quindi se (o ) quindi$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}P}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{co\text{-}NP} = \mathsf{NP}$

1. Dato un linguaggio , possiamo costruire una TM deterministica che decide in tempo polinomiale semplicemente prendendo la TM che decide e ...$L \in \mathsf{P}$$\overline L$$L$