le lingue complete NP sono chiuse in caso di operazioni regolari?

Ho provato a cercare online, ma non sono riuscito a trovare dichiarazioni definitive. Avrebbe senso per me che l'Unione e l'intersezione di due lingue NPC avrebbero prodotto una lingua non necessariamente in NPC. È anche vero che le lingue NPC non sono chiuse sotto il complemento, la concatenazione e le operazioni con le stelle kleene?

complexity-theory np-complete closure-properties

— user16742
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solo una nota: le operazioni regolari sono unione, concatenazione e stella di Kleene e non intersezione e complemento

— A.Schulz

Perché non intersezione e complemento? Non ho visto nessuna definizione formale di operazioni regolari da nessuna parte.

— Tushar,

@Tushar In effetti: unione, concatenazione e stella di Kleene sono operazioni regolari, mentre unione, intersezione e complemento sono operazioni booleane. Vedi Wikipedia .

— Hendrik

@Tushar: poiché queste operazioni vengono utilizzate per creare espressioni regolari .

— A. Schulz,

Risposte:

Per tutti gli esempi in questa risposta, sto prendendo l'alfabeto come . Notare che le lingue e sono assolutamente complete di NP . $\{0,1\}$ $\emptyset$ $\{0,1\}^*$

La classe delle lingue complete NP non è chiusa sotto l'intersezione. Per qualsiasi lingua NP , lascia e . e sono entrambi NP- completi ma . $L$ $L_0 = \{0w\mid w\in L\}$ $L_1 = \{1w\mid w\in L\}$ $L_0$ $L_1$ $L_0\cap L_1 = \emptyset$
La classe delle lingue complete NP non è chiusa sotto unione. Date le lingue NP di e della parte precedente, lascia e . $L_0$ $L_1$ $L'_0 = L_0 \cup \{1w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ $L'_1 = L_1\cup \{0w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ $L'_0$ e $L'_1$ sono entrambi NP- completi ma $L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
La classe delle lingue complete NP non è chiusa sotto concatenazione. Considera le lingue complete NP $L'_0$ e $L'_1$ dalla parte precedente. Poiché entrambe le lingue contengono $\varepsilon$ , noi abbiamo $L'_0L'_1 \supseteq L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
La classe delle lingue complete NP non è chiusa sotto la stella Kleene. Per qualsiasi linguaggio completo NP $L$ , $L\cup \{0,1\}$ è NP- completo ma $\big(L\cup \{0,1\}\big)^* = \{0,1\}^*\!$ .
Se la classe di problemi completi NP viene chiusa in complemento, allora NP = coNP . Se questo è vero o no è uno dei maggiori problemi aperti nella teoria della complessità.

— David Richerby
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Escludendo il complemento, le lingue NP-complete non sono chiuse in tutte quelle? O è per P?

— Aggiusta il

@Adjit Um. Ho dimostrato che NP è chiuso sotto nessuno di essi.

— David Richerby,

Per la tua lingua specifica. Ma suppongo di non vedere come {0, 1}*NP non sia completo. Se prendi, ad esempio, l'intersezione di 2 lingue complete NP non dovresti ottenere una lingua completa NP, rendendo così NP chiusa sotto l'intersezione?

— Aggiunta il

{0, 1} * e la lingua vuota sono regolari, quindi decidibili in tempo polinomiale e non NP-Complete. @DavidRicherby ha dimostrato che esistono due lingue NP-Complete la cui intersezione non è NP-Complete. Ciò è sufficiente per dimostrare che NPC non è chiuso sotto l'intersezione.

— weirdev

@weirdev No!

\emptyset

$\emptyset$ e

Σ^{*}

$\Sigma^*$ non sono NP- completi perché nessun'altra lingua si riduce a loro. Non è sufficiente dire che sono in P - non sappiamo che le lingue in P non possono essere complete di NP .

— David Richerby,

-2

Dai un'occhiata alle prove di unione, intersezione, concatenazione e stella kleene delle lingue NP, qui . Sembra che un argomento simile potrebbe essere fatto per i linguaggi NP-Complete.

Per notazione lascia

$A$ essere un oracolo che decide un noto problema NP-Complete come 3-SAT. Vedere la definizione di turing riducibile
$L_1$ e $L_2$ sono lingue NP-complete
$M_1$ e $M_2$ sono le macchine di Turing che decidono $L_1$ e $L_2$ utilizzando $A$ .
$L_3$ è $L_1 \cup L_2$
$M_3$ è una macchina da presa che decide $L_3$

Nel caso di unione da 1 , possiamo creare una nuova macchina $M_3$ quello decide $L_3$ a chiamata $M_1$ e $M_2$ come routine secondarie. A sua volta, ogni volta $M_1$ o $M_2$ è chiamato, $A$ viene anche chiamato. Così $M_3$ decide $L_3$ utilizzando $A$ . Con l'argomento da 1 , il tempo di esecuzione di $M_3$ è in P e poiché usa $A$ come subroutine, $L_3$ è NP-completo. In altre parole, $L_3$ è NP-Complete per lo stesso motivo $L_1$ e $L_2$ sono NP-Complete.

Lo stesso argomento può essere creato come intersezione e sembra che argomenti simili potrebbero essere fatti per la concatenazione e la stella di Kleene.

Nel caso del complimento, sembra probabile che sia difficile dimostrarlo, per gli stessi motivi è difficile dimostrare il complimento in NP.

— joebloggs
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La completezza NP è definita in termini di riduzioni multiple, non di riduzioni oracolari. Inoltre, le lingue complete NP non sono sicuramente chiuse sotto unione o intersezione. Se sono chiusi sotto complemento, allora NP = coNP, che è una grande domanda aperta.

— David Richerby,

Nel documento di Stephen Cook del 1971 [1] che definisce NP-Completeeness usa una macchina per query che ha lo stesso concetto di Oracle. Dovresti anche controllare il link qui sopra sulla riduzione del turing. [1] chell.co.uk/media/product/_master/1/files/…

— joebloggs

@joebloggs: Dalla tua argomentazione posso vedere che l'unione e l'intersezione di due lingue NP-Complete è NP. Tuttavia, non dimostra ancora se è NP-completo. È necessario ridurre l'unione o l'intersezione di due problemi di decisione NP-completi a un problema di decisione NP-completo per dimostrarlo.

— Tushar,

@DavidRicherby: Dici che le lingue NP-complete non sono sicuramente chiuse sotto unione o intersezione. Sono interessato a guardare la prova per questo. Hai qualche referenza per quella prova?

— Tushar,

@joebloggs: il tuo argomento funziona per le lingue NP, ma NON per le lingue NP-complete. Per dimostrare che una lingua L è Np-completa, è necessario fornire una riduzione polinomiale da L a una lingua NP-completa nota. Per quanto riguarda la risposta di David, P è chiusa sotto l'intersezione, perché sia la lingua vuota che la lingua universale sono in P (quindi, sono anche in NP), ma non sono NP-complete. Spero che sia chiaro!

— Tushar,