Perché la completezza di Turing è giusta?

Sto usando un computer digitale per scrivere questo messaggio. Tale macchina ha una proprietà che, se ci pensate, è in realtà abbastanza notevole: è una macchina che, se programmata in modo appropriato, può eseguire qualsiasi calcolo possibile .

Naturalmente, le macchine calcolatrici di un tipo o dell'altro risalgono all'antichità. Le persone hanno costruito macchine che eseguono addizioni e sottrazioni (ad esempio un abaco), moltiplicazioni e divisioni (ad esempio la regola delle diapositive) e macchine più specifiche del dominio come i calcolatori per le posizioni dei pianeti.

La cosa sorprendente di un computer è che può eseguire qualsiasi calcolo. Qualsiasi calcolo. E tutto senza dover ricablare la macchina. Oggi tutti danno per scontata questa idea, ma se ti fermi a pensarci, è sorprendente che un tale dispositivo sia possibile.

Ho due domande reali :

1. Quando l'umanità ha capito che una simile macchina era possibile? Ci sono mai stati seri dubbi sul fatto che si possa fare? Quando è stato risolto? (In particolare, è stato risolto prima o dopo la prima effettiva attuazione?)

2. In che modo i matematici hanno dimostrato che una macchina completa di Turing può davvero calcolare tutto?

Quel secondo è complicato. Ogni formalismo sembra avere alcune cose che non possono essere calcolate. Attualmente la "funzione calcolabile" è definita come "tutto ciò che una macchina di Turing può calcolare". Ma come facciamo a sapere che non esiste una macchina leggermente più potente in grado di calcolare più cose? Come facciamo a sapere che le macchine di Turing sono l'astrazione corretta?

L'umanità formalizzò il calcolo e sviluppò due sistemi per esso nel 1936 con le carte fondamentali della chiesa di Alonzo su -calculus$\lambda$ e Alan Turing (che oggi, il 23 giugno 2012, avrebbe 100 anni se non per circostanze spregevoli che avrebbero portato alla sua scomparsa precoce) ciò che divenne noto come macchine di Turing. Entrambi i matematici stavano risolvendo il problema di Entscheidungs .

Sebbene l'articolo di Church fosse stato pubblicato un po 'prima, Turing non ne era consapevole quando ha sviluppato le sue idee e l'approccio di Turing si è rivelato più utile per la progettazione di macchine del mondo reale. Questo perché ha mostrato come progettare una macchina di Turing universale che potrebbe essere programmata per eseguire qualsiasi calcolo. Questa macchina universale, con un'architettura concreta basata sul lavoro di John von Neumann, è l'idea di base dietro la macchina su cui stai leggendo la mia risposta.

Come hai notato, calcolabile è definito come "calcolabile su una macchina di Turing" e tutti gli altri modelli di calcolo ragionevoli hanno dimostrato di essere equivalenti in termini di potenza. La convinzione che tutti i modelli di calcolo ragionevoli siano equivalenti in quali problemi decisionali possono risolvere è nota come tesi di Church-Turing . Nella sua forma originale, è quasi completamente creduto dalla comunità istruita. In realtà non è del tutto chiaro cosa significherebbe dimostrare / confutare la tesi di Church-Turing ; in molti modi diventa una domanda empirica.

$\lambda$ oggetto di dibattito accademico . Si noti che in termini di nozione grossolana di ciò che è calcolabile (al contrario di in modo efficiente calcolabile) il calcolo quantistico è ancora equivalente al modello di Turing.

C'è una ragione per cui si chiama Turing Machine, ed è perché è stata inventata da Alan Turing. Ha fatto un articolo del 1936 su questo, stabilendo questi concetti. Se vuoi saperne di più sulle macchine di Turing, controlla la carta. È stato seriamente dubitato, prima che ne progettasse e costruisse uno che crepasse l'Enigma, che questo concetto potesse effettivamente funzionare. Tuttavia gli inglesi erano piuttosto disperati e lui era un genio, quindi si fidarono di lui e questo ripagò in modo massiccio.

Tuttavia, quando ci pensi un po 'di più, non è davvero così sorprendente. Molto prima di Turing era noto che tutta la matematica poteva essere ridotta a un insieme di assiomi. Tutto quello che dovresti fare è dare al set di istruzioni la capacità di eseguire questi assiomi, e il gioco è fatto.