Tesi di Church-Turing estesa

Una delle domande più discusse sul sito è stata cosa significherebbe confutare la tesi di Church-Turing . Ciò è in parte dovuto al fatto che Dershowitz e Gurevich hanno pubblicato una dimostrazione della tesi di Church-Turing sul Bulletin of Symbolic Logic nel 2008. (Non ne parlerò qui, ma per un link e ampi commenti, vedere la domanda originale, oppure - - autopromozione spudorata - un post sul blog che ho scritto.)

Questa domanda riguarda la tesi estesa di Church-Turing, che, come formulata da Ian Parberry, è:

Il tempo su tutti i modelli di macchina "ragionevoli" è correlato da un polinomio.

Grazie a Giorgio Marinelli, ho appreso che uno dei coautori del precedente documento, Dershowitz, e uno dei suoi dottorandi, Falkovich, hanno pubblicato una prova della tesi estesa di Church-Turing, che è appena apparsa al workshop Developments of Modelli computazionali 2011 .

Stamattina ho appena stampato il foglio e l'ho scremato, niente di più. Gli autori sostengono che le macchine di Turing possono simulare qualsiasi dispositivo computazionale sequenziale con al massimo polinomiali. Il calcolo quantistico e il calcolo parallelo su larga scala non sono esplicitamente coperti. La mia domanda riguarda la seguente dichiarazione nel documento.

Abbiamo dimostrato - come è stato ipotizzato e si ritiene ampiamente - che ogni implementazione effettiva, indipendentemente dalle strutture di dati che utilizza, possa essere simulata da una macchina di Turing, con al massimo un sovraccarico polinomiale nella complessità temporale.

Quindi, la mia domanda: è davvero "ampiamente creduto", anche nel caso del calcolo "veramente" sequenziale senza randomizzazione? E se le cose fossero casuali? Il calcolo quantistico sarebbe un probabile controesempio, se in effetti può essere istanziato, ma ci sono possibilità "più deboli" rispetto al quantum che sarebbero anche controesempi?

Rant preparatorio

Devo dirtelo, non vedo come parlare di "prove" del CT o dell'ECT ​​aggiunga luce a questa discussione. Tali "prove" tendono ad essere esattamente buone quanto le ipotesi su cui poggiano --- in altre parole, come significano ciò che prendono parole come "calcolo" o "calcolo efficiente". Allora perché non procedere immediatamente alla discussione delle ipotesi e rinunciare alla parola "prova"?

Questo era già chiaro con la CT originale, ma è ancora più chiaro con l'ECT ​​--- poiché non solo l'ECT ​​è "filosoficamente non dimostrabile", ma oggi è ampiamente ritenuto falso! Per me, l'informatica quantistica è l'enorme e lampante controesempio che dovrebbe essere il punto di partenza per qualsiasi discussione moderna sull'ECT, non qualcosa che si è sbilanciato di lato. Tuttavia, l'articolo di Dershowitz e Falkovich non tocca nemmeno il controllo di qualità fino all'ultimo paragrafo:

Il risultato sopra riportato non copre il calcolo parallelo su larga scala, come il calcolo quantistico, poiché ipotizza che vi sia un limite fisso sul grado di parallelismo, con il numero di termini critici fissati dall'algoritmo. La questione della complessità relativamente [sic] dei modelli paralleli verrà affrontata nel prossimo futuro.

Ho trovato altamente fuorviante quanto sopra: il controllo di qualità non è un "modello parallelo" in senso convenzionale. Nella meccanica quantistica non esiste una comunicazione diretta tra i "processi paralleli" --- solo l'interferenza di ampiezze --- ma è anche facile generare un numero esponenziale di "processi paralleli". (In effetti, si potrebbe pensare a ogni sistema fisico nell'universo come farlo mentre parliamo!) In ogni caso, qualunque cosa tu pensi dell'interpretazione della meccanica quantistica (o anche della sua verità o falsità), è chiaro che richiede un separato discussione!

Adesso passiamo alle tue (interessanti) domande!

No, non conosco alcun controesempio convincente per l'ECT ​​diverso dal calcolo quantistico. In altre parole, se la meccanica quantistica fosse stata falsa (in un modo che mantenesse l'universo più "digitale" che "analogico" sulla scala di Planck --- vedi sotto), allora l'ECT ​​come ho capito non sarebbe ancora "dimostrabile" (poiché dipenderebbe ancora da fatti empirici su ciò che è calcolabile in modo efficiente nel mondo fisico), ma sarebbe una buona ipotesi di lavoro.

La randomizzazione probabilmente non sfida l'ECT ​​come viene convenzionalmente inteso, a causa della forte evidenza oggi che P = BPP. (Si noti che, se si è interessati ad impostazioni diverse dai problemi di decisione linguistica, ad esempio problemi relazionali, alberi decisionali o complessità della comunicazione, la randomizzazione può essere determinante per fare una grande differenza. Tali impostazioni sono perfettamente ragionevoli quelli di cui parlare; non sono solo quelli che le persone in genere hanno in mente quando discutono dell'ECT.)

L'altra classe di "controesempi" all'ECT ​​che viene spesso menzionata riguarda l'elaborazione analogica o "iper". La mia opinione è che, sulla base della nostra migliore conoscenza attuale della fisica, il calcolo analogico e l'ipercomputazione non possano ridimensionarsi, e il motivo per cui non possono, ironicamente, è la meccanica quantistica! In particolare, mentre non abbiamo ancora una teoria quantistica della gravità, ciò che è noto oggi suggerisce che ci sono ostacoli fondamentali per eseguire più di circa 10 ⁴³ passi di calcolo al secondo o per risolvere distanze inferiori a circa 10 ^-33 cm.

Infine, se si desidera assumere dalla discussione qualsiasi cosa possa essere una sfida plausibile o interessante per l'ECT, e consentire solo il calcolo seriale, discreto, deterministico, allora sono d'accordo con Dershowitz e Falkovich che l'ECT ​​detiene! :-) Ma anche lì, è difficile immaginare una "prova formale" che aumenti la mia fiducia in quell'affermazione - il vero problema, ancora una volta, è proprio quello che prendiamo parole come "seriale", "discreto" e "deterministico" per significa .

Per quanto riguarda la tua ultima domanda:

Il calcolo quantistico sarebbe un probabile controesempio, se in effetti può essere istanziato, ma ci sono possibilità "più deboli" del quantum che sarebbero anche controesempi?

Oggi ci sono molti esempi interessanti di sistemi fisici che sembrano in grado di implementare un po ' di calcolo quantistico, ma non tutto (producendo classi di complessità che potrebbero essere intermedie tra BPP e BQP). Inoltre, molti di questi sistemi potrebbero essere più facili da realizzare rispetto a un controllo di qualità universale completo. Vedi ad esempio questo articolo di Bremner, Jozsa e Shepherd o questo di Arkhipov e io.

Questa risposta è intesa come supplemento alla risposta di Scott Aaronson (con la quale concordo principalmente).

Dal punto di vista ingegneristico, è sorprendente che l'articolo di Dershowitz / Falkovich utilizzi la parola "casuale" solo nel senso di "memoria ad accesso casuale", e inoltre l'articolo non usa la parola "campione" (o nessuna delle sue varianti) a tutti. Piuttosto, il focus dell'analisi di Dershowitz / Falkovic è limitato esclusivamente al calcolo delle funzioni numeriche.

Questa limitazione è sorprendente perché la grande maggioranza delle moderne risorse computazionali STEM (mi permetterò di dire) non rispetta la restrizione alle funzioni numeriche, ma piuttosto si dedica a generare campioni da distribuzioni (ad esempio, dinamica molecolare, flusso di fluido turbolento, propagazione della frattura , sistemi di spin rumorosi sia classici che quantistici, onde che si propagano attraverso media casuali, ecc.).

Pertanto, se la "Extended Church-Turing Thesis" (ECT) deve avere una rilevanza sostanziale per i calcoli STEM definiti in senso ampio, forse dovrebbe essere revocata la limitazione esclusiva alle funzioni numeriche e deve essere fornita una dichiarazione generalizzata dell'ECT, che comprende il campionamento calcoli (e loro convalida e verifica).

Questa versione generalizzata di campionamento dell'ECT ​​rientrerebbe ancora nell'ambito di TCS come concepito tradizionalmente? La risposta apparentemente è "sì", secondo le Domande frequenti sullo scambio di stack TCS :

Vi rimandiamo alla descrizione del gruppo di interesse speciale ACM su algoritmi e teoria dei calcoli (SIGACT) ... TCS copre una vasta gamma di argomenti tra cui il calcolo probabilistico ... Il lavoro in questo campo [TCS] si distingue spesso per la sua enfasi sulla matematica tecnica e rigore.

$\text{ECTT}$$\{0,1,+,\times\}$$\text{ECTT}$, che afferma che questo predicato di ragionevolezza è soddisfatto esattamente da quei modelli che hanno una traslazione temporale polinomiale in una macchina di Turing. Come assioma non è falsificabile nel senso in cui la nostra teoria è in grado di contraddirla, purché la teoria fosse coerente all'inizio, ma la solidità della nostra teoria è falsificabile: concepibilmente esiste un modello ragionevole di calcolo che non è correlato a Macchine di Turing mediante una traduzione temporale polinomiale. Consentire che questa ipotetica scoperta possa comportare uno spostamento nel pensare a ciò che è ragionevole, ecco come vedo il lato formale. A posteriori sembra banale, ma penso che sia un punto importante delineare la matematica da tutto il resto.

$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BPP}$$\text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{BQP}$$\text{P}$

Ad esempio, supponiamo che io dichiari di aver costruito una macchina che tiene conto dei numeri e che il suo tempo di esecuzione soddisfa un determinato limite polinomiale. La macchina è in una scatola, si inserisce il numero scritto su un nastro di carta e stampa i fattori. Non c'è dubbio che funzioni, dal momento che l'ho usato per vincere le sfide RSA, confiscare criptovaluta, fattore di grandi numeri a tua scelta, ecc. Cosa c'è nella scatola? È un nuovo fantastico tipo di computer o è un normale computer che esegue un nuovo fantastico tipo di software?

$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME}$$\text{P}_\text{CTC} = \text{PSPACE}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{PSPACE}$

$\text{P} \neq \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{P}_\text{CTC}$$\text{P} = \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{NP}$$\text{3SAT}$$\text{P}$

$\text{EXPTIME}$$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME} \neq \text{P}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{P} = \text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$

$\text{ECTT}$$\{\in\}$$\text{ECTT}$$\{\in\}$

Dopo aver sfogliato l'articolo collegato di Dershowitz e Falkovich, credo che i suoi autori abbiano anche una visione incoerente o forse solo tautologica del $\text{ECTT}$