Decimo problema di Hilbert ed equazione diofantina di Chaitin "Computer"?

In Meta Math di Chaitin ! The Quest For Omega , parla brevemente del decimo problema di Hilbert. Quindi dice che qualsiasi equazione diofantina può essere cambiata in due polinomi uguali con coefficienti interi positivi: .$p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

Quindi dice che possiamo pensare a queste equazioni come a un "computer":

Diophantine Equazione Computer : Programma: k , Output: n , Tempo: x , y , z , . .

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

Con lato sinistro , lato destro R . Dice che k è il programma di questo computer, che produce n . Dice anche che le incognite sono una variabile temporale multidimensionale .$L$$R$$k$$n$

Ciò che mi confonde è che poi dice che il decimo problema di Hilbert non è chiaramente risolvibile se visto in questo modo. Praticamente dice "a causa del problema di arresto di Turing". Ma non vedo la connessione (sto solo iniziando a imparare la teoria). Speravo che qualcuno potesse spiegare più chiaramente qual è il punto di Chaitin.

So che Turing's Halting Problem afferma sostanzialmente che non è possibile prevedere quando un programma si fermerà prima che si fermi effettivamente (dato un tempo limitato). Qual è l'applicazione al decimo problema di Hilbert, usando la notazione esposta da Chaitin?

Buona domanda. Sembra che potresti aver bisogno di qualche ulteriore sfondo sul decimo problema di Hilbert. Spero che questo non sia eccessivo.

Il problema chiede:

Esiste un algoritmo che, dato un polinomio diothantico, decide se esiste o meno un'impostazione delle sue variabili che lo rende uguale a ?$0$

Ciò fu risolto negli anni '70 come conseguenza del MRDP (chiamato anche teorema di Matiyasevich, se hai voglia di cercarlo) che afferma:

Definisci: Un set è Diophantine se esiste un polinomio di Dihanthant p su k + 1 input tale che D = { $D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$ .$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

I set di Diophantine sono precisamente quelli riconoscibili dalle macchine di Turing.

$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

Comunque, in che modo il teorema MRDP risolve il decimo problema di Hilbert? Bene...

$p(y)$$y$$p(y) = 0$

$M$$x$$p(y | x)$$0$

$p(y) = 0$